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Brennpunkt einer Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Sa 08.09.2007
Autor: Nima

Aufgabe
Gesucht ist der Brennpunkt der Parabel.

a) f(x) = [mm] \bruch{1}{4} x^{2} [/mm]

b) f(x) = 2 [mm] x^{2} [/mm] +4

c) f(x) = [mm] \bruch{1}{4} x^{2} [/mm] +x-1

Hallo!

Die Teilaufgabe a) fällt einem ja sehr leicht, weil man weiss, dass der Brennpunkt einer Parabel mit der Form
f(x)= a [mm] x^{2} [/mm] bei (0| [mm] \bruch{1}{4a} [/mm] ) liegt.
Für a) würde das dann ja (0|1) ergeben.
Aber wie sieht das aus, wenn noch etwas zur Funktion addiert wird wie bei b) und c) ?



        
Bezug
Brennpunkt einer Parabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Sa 08.09.2007
Autor: leduart

Hallo
> Gesucht ist der Brennpunkt der Parabel.
>  
> a) f(x) = [mm]\bruch{1}{4} x^{2}[/mm]
>  
> b) f(x) = 2 [mm]x^{2}[/mm] +4
>  
> c) f(x) = [mm]\bruch{1}{4} x^{2}[/mm] +x-1
>  Hallo!
>  
> Die Teilaufgabe a) fällt einem ja sehr leicht, weil man
> weiss, dass der Brennpunkt einer Parabel mit der Form
> f(x)= a [mm]x^{2}[/mm] bei (0| [mm]\bruch{1}{4a}[/mm] ) liegt.
>  Für a) würde das dann ja (0|1) ergeben.
>  Aber wie sieht das aus, wenn noch etwas zur Funktion
> addiert wird wie bei b) und c) ?

Offensichtlich weisst du, wo der Brennpunkt der Parabel [mm] y=2x^2 [/mm] liegt.
[mm] y=2x^2+4 [/mm] ist dieselbe Parabel um 4 in y Richtung verschoben, also auch der Brennpunkt um 4 nach oben verschoben.

f(x) = [mm]\bruch{1}{4} x^{2}[/mm] +x-1
musst du durch quadratische Ergänzung umformen in die Form :
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}*(x-a)^2+b [/mm]
dann ist es die Parabel [mm] p(x)=\bruch{1}{4}x^2 [/mm] um a nach rechts und um b nach unten verschoben, wenn a,b pos, sonst entsprechend nach unten und links.
und wieder verschiebt sich der Brennpkt natürlich mit.
Gruss leduart
  


Bezug
                
Bezug
Brennpunkt einer Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Sa 08.09.2007
Autor: Nima

Danke leduart,

b) habe ich verstanden.
Bei c) bekomme ich heraus: f(x) = [mm] \bruch{1}{4} (x+2)^{2} [/mm] -1,25 . Und wie komme ich da auf den Brennpunkt?

Bezug
                        
Bezug
Brennpunkt einer Parabel: Korrektur und Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Sa 08.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Nima!


>  Bei c) bekomme ich heraus: f(x) = [mm]\bruch{1}{4} (x+2)^{2}[/mm] -1,25 .

[notok] Hier habe ich erhalten: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*(x+2)^2- [/mm] \ [mm] \red{2}$ [/mm] .


> Und wie komme ich da auf den Brennpunkt?

Der Brennpunkt $F \ [mm] \left( \ x_F \ | \ y_F \ \right)$ [/mm] liegt nun in einem Abstand von [mm] $\bruch{1}{4a}$ [/mm] senkrecht oberhalb des Scheitelpunktes $S \ [mm] \left( \ x_S \ | \ y_S \ \right)$ [/mm] entfernt:

[mm] $x_F [/mm] \ = \ [mm] x_S$ [/mm]
[mm] $y_F [/mm] \ = \ [mm] y_S+\bruch{1}{4a}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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