Brems- Beschleunigungskonstant < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Es handelt sich um keine Aufgabe sondern um eine Darstellung als Grundlage für weitere Berechnungen.
Gegeben ist (v,t)-Diagramm, in dem ein Fahrzeug bis zur Maximalgeschwindigkeit [mm] $v_{max}$ [/mm] beschleunigt und anschließend direkt wieder bremst (unter Verwendung der einfachen Bewegungsgleichungen, also: [mm] $v=a\cdot [/mm] t$). Es gibt einzelne Werte für die Beschleunigung $a^+$ und die Verzögerung $a^-$.
Nun ist in dem Buch allgemein angegeben, dass für die weitere Rechnung mit einer Brems- Beschleunigungskonstante gerechnet wird, die sich aus dem harmonischen Mittel ergibt.
[mm] $a=\frac{2\cdot a^+ \cdot a^-}{a^+ + a^-}
[/mm]
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Die grafische Darstellung ist logisch, ich habe einfach mal mit Zahlen ein Beispiel gerechnet und es passt (siehe Bild mit [mm] $v_{max} [/mm] = 4 [mm] \frac{m}{s}$, $t_1 [/mm] = 2 s$, $T=6 s$ und daraus folgend [mm] $t_2 [/mm] = [mm] T-t_1=4s$, [/mm] es kam dann auch für [mm] $a=\frac{4}{3} \frac{m}{s^2} [/mm] $heraus). Mir ist aber nicht klar, wie die Begründung für das harmonische Mittel bzw. die Herleitung dieser Gleichung für die Brems- und Beschleunigungskonstante ist.
Es wäre klasse, wenn mir jemand hier auf die Sprünge helfen würde.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Es handelt sich um keine Aufgabe sondern um eine
> Darstellung als Grundlage für weitere Berechnungen.
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> Gegeben ist (v,t)-Diagramm, in dem ein Fahrzeug bis zur
> Maximalgeschwindigkeit [mm]v_{max}[/mm] beschleunigt und
> anschließend direkt wieder bremst (unter Verwendung der
> einfachen Bewegungsgleichungen, also: [mm]v=a\cdot t[/mm]). Es gibt
> einzelne Werte für die Beschleunigung [mm]a^+[/mm] und die
> Verzögerung [mm]a^-[/mm].
> Nun ist in dem Buch allgemein angegeben, dass für die
> weitere Rechnung mit einer Brems- Beschleunigungskonstante
> gerechnet wird, die sich aus dem harmonischen Mittel
> ergibt.
> [mm]$a=\frac{2\cdot a^+ \cdot a^-}{a^+ + a^-}[/mm]
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Nach meiner Überlegung (s.u.) ist der Faktor 2 zu viel: Man darf nur das halbe harmonische Mittel nehmen.
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> Die grafische Darstellung ist logisch, ich habe einfach
> mal mit Zahlen ein Beispiel gerechnet und es passt (siehe
> Bild mit [mm]v_{max} = 4 \frac{m}{s}[/mm], [mm]t_1 = 2 s[/mm], [mm]T=6 s[/mm] und
> daraus folgend [mm]t_2 = T-t_1=4s[/mm], es kam dann auch für
> [mm]a=\frac{4}{3} \frac{m}{s^2} [/mm]heraus). Mir ist aber nicht
> klar, wie die Begründung für das harmonische Mittel bzw.
> die Herleitung dieser Gleichung für die Brems- und
> Beschleunigungskonstante ist.
> Es wäre klasse, wenn mir jemand hier auf die Sprünge
> helfen würde.
Zunächst ist die Frage, was das gesuchte a überhaupt sein soll. Vermutung; Mit welcher Beschleunigung a hätte man den zurückgelegten Weg in derselben Zeit erreicht?
Falls aber das a etwas anderes bedeuten sollte, sind meine Überlegungen natürlich irrelevant.
Kritisch: Die Endgeschwindigkeit, die man aus diesem a errechnen würde, stimmt aber nicht mit der tatsächlichen überein, die ja 0 sein soll.
Zur Vereinfachung (ich hasse Indices):
A=Anfangsbeschleunigung [mm] a^{+} [/mm] T = Beschleunigungszeit
B=Bremsbeschleunigung [mm] a^{-} [/mm] t = Bremszeit
Umkehrgeschwindigkeit v [mm] =\underline{ AT = Bt} [/mm]
Hinweg = 0,5 [mm] AT^2 [/mm] Bremsweg = 0,5 [mm] Bt^2, [/mm] Gesamtweg = 0,5 [mm] (AT^2+Bt^2)= [/mm] 0,5 [mm] (AT^2+Bt*t)= [/mm] ...
für Bt nun AT eingesetzt
...= 0,5 (AT*T+AT*t)=0,5 AT(T+t)
Dieser Gesamtweg soll nun gleich 0,5 [mm] a(T+t)^2 [/mm] sein:
0,5 [mm] a(T+t)^2 [/mm] = 0,5 AT(T+t) |:0,5 (T+t)
a(T+t)= AT
a=AT/(T+t)=...Ziel: t durch T ersetzen, daher mit B erweitert ... =ATB/(BT+Bt) =...
mit Bt=AT...= ABT/(BT+AT) = ... T herausgekürzt ...=AB/(A+B) wie behauptet.
Es kommt also nur das halbe harmonische Mittel heraus.
Geometrisch plausibel:
Die Fläche unter den beiden Dreiecksseiten in deinem Bild entspricht der zurückgelegten Strecke. Nimm nun die Seite, die zur kleinsten Beschleunigung gehört, und verlängere sie oben, so dass sie von der Start- bis zur Endzeit geht. Die Gesamtfläche ist nun größer. Wäre der Gesamtvorgang mit dieser Beschleunigung erfolgt, wäre die Strecke also größer gewesen. Ist sie aber nicht. Also muss das gesuchte a
Dein Beispiel ist auch fehlerhaft: Du kommst auf eine Strecke von 4m+8m=12m in 6 s, dazu gehört eine Beschleunigung von 2/3 [mm] m/s^2:
[/mm]
12 = [mm] 0,5*2/3*6^2
[/mm]
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Offenbar habe ich dein Bild falsch interpretiert. weil ich dachte, dass die beiden verschiedenfarbigen Linien zu zwei Beispielen gehören.
Ist es so, dass die beiden Beschleunigungen durch ZWEI GLEICHGROßE verschiedenartige (pos und neg) ersetzt werden sollen? Dann ergibt sich mit meinen vorhergehenden Bezeichnungen:
AT=Bt
Gesamtstrecke=0,5 [mm] AT^2+0,5 Bt^2=0,5(AT*T+Bt*t)=0,5 [/mm] (AT*t+AT*t)= 0,5 AT(T+t) wie zuvor, aber jetzt
...=0,5 [mm] a(\bruch{T+t}{2})^2 [/mm] * 2
0,5 AT(T+t)=0,5 [mm] a(\bruch{T+t}{2})^2 [/mm] * 2=0,5 [mm] a\bruch{(T+t)^2}{4} [/mm] * 2=
dividiert durch 0,5(T+t)
[mm] AT=a\bruch{(T+t)}{2}
[/mm]
[mm] a=\bruch{2AT}{T+t}=\bruch{2ABT}{BT+Bt}=\bruch{2ABT}{BT+AT}=\bruch{2A}{A+B} [/mm] (harmonisches Mittel)
Bedeutet: Statt mit A zu beschleunigen und mit B zu Bremsen, kann man beides mit a machen und erhält dieselbe Strecke in derselben Zeit.
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Hallo HJKweseleit,
vielen Dank für Deine Ergänzung. Ich habe letztes Wochenende basierend auf Deinem Kommentar auch nochmal alles nachgerechnet (mit den Zahlen und bin zu derselben Erkenntnis gekommen wie Du). Nun war ich heute hier, um meine selbständig, hart erkäpfte Rechnung zu posten. Aber Du hast schon nochmal geantwortet.
Vielen herzlichen Dank :)
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