Brauche Hilfe beim Beweis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n} e^{-ax^{2}}}
[/mm]
Man soll zeigen, dass für n [mm] \ge [/mm] 1 gilt.
Für n gerade:
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{2a} \* I_{n-2}
[/mm]
Für n ungerade:
[mm] I_{n} [/mm] = 0
Kann mir da jemand helfen. Habe gar keine Ahnung, wie man sowas macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n} e^{-ax^{2}}} dx[/mm]
>
> Man soll zeigen, dass für n [mm]\ge[/mm] 1 gilt.
>
> Für n gerade:
>
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n-1}{2a} \* I_{n-2}[/mm]
Wende partielle Integration an.
> Für n ungerade:
>
> [mm]I_{n}[/mm] = 0
Für ungerade n ist der Integrand eine ungerade Funktion.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Wie soll denn da die partielle Integration aussehn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \integral_{}^{}{x^{n} e^{-ax^{2}}} [/mm] dx [mm] =\integral_{}^{}{x^{n-1} (xe^{-ax^{2}}}) [/mm] dx $
Setze $u'= [mm] xe^{-ax^{2}}$ [/mm] und [mm] $v=x^{n-1} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok.
Dann muss man irgendwann zu x [mm] \* e^{-ax^{2}} [/mm] eine Stammfunktion bilden. Müsste man da wieder partielle Integration anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
differenzier mal [mm] e^{-ax^2} [/mm] kannst du dann [mm] x*e^{-ax^2} [/mm] integrieren?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Aber wie soll ich dazu dann eine Stammfunktion bilden, wenn man es nicht integrieren kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Man kann es integrieren ! Mach doch mal einfach das , was man Dir rät !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry. xD Ich kriege beim "normalen" Integrieren folgendes heraus:
[mm] -\bruch{1}{2a} \* e^{-ax^{2}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sry. xD Ich kriege beim "normalen" Integrieren folgendes
> heraus:
>
> [mm]-\bruch{1}{2a} \* e^{-ax^{2}}[/mm]
Ja, das ist eine Stammfunktion von $ [mm] x\cdot{}e^{-ax^2} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Wenn ich jetzt partielle Integration ansetze, kommt aber folgendes heraus:
[mm] -\bruch{1}{2a} \* e^{-ax^{2}} \* x^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{(n-1)x^{n-2} \*
(-\bruch{1}{2a}e^{-ax^{2}} )}
[/mm]
Aber was bringt mir das nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du behandest das bleibende Integral wie das Ausgangsintegral, bis du im Integral bei [mm] xe^{-x^2} [/mm] ankommst.
(mach ne Induktion, wenn du die formel siehst.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kannst du das nochmal genauer erklären. Irgendwie versteh ich nicht, was du meinst. Sry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach das verbleibende Integral wieder partiell integrieren.
mit demselben Trick wie vorher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Verstehe. Nur welchen Trick meinst du genau? Wie man das Integral umgeformt hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x^{n-2}*e^-{x^2}=x^{n-3}*(x*e^{-x^2})
[/mm]
Gruss leduart
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