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| Aufgabe | | Eine Zahl [mm] x\in[0,1] [/mm] nennen wir eine "Neujahrszahl, wenn in ihrer Dezimaldarstellung irgendwo die Ziffernfolge 2010 auftaucht. Zeigen Sie, dass die Menge X der Neujahrszahlen eine Borel-Menge ist. |
Hallo,
sitze hier vor dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich habe mir überlegt, was denn die erste Neujahrszahl in der Nähe der Null ist. Das müsste ja die 0,0000000000......0002010 mit unendlich vielen Nullen dazwischen sein. Die erste Neujahrszahl in der Nähe der Eins wäre ja 0,9999999999999.......99992010.
Ich weiß, dass diese Darstellung von unendlich vielen Dezimalstellen ein bisschen blöd ist, aber anders kann ich es nicht erklären.
Es ist offensichtlich, dass es von diesen Neujahrszahlen unendlich viele gibt. Aber wie zeige ich, dass die Menge dieser Zahlen eine Borelmenge darstellt? Muss ich zeigen, dass die Menge dieser Zahlen offen ist?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Gruß Walodja1987
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Hiho,
> Muss ich zeigen, dass die Menge dieser Zahlen offen ist?
wenn du das zeigen würdest, wärst du fertig.
Aber zeigen MÜSSEN tust du das nicht...... dazu erstmal die Frage an dich: Was ist denn eine Borel-Menge? Was weisst du über diese Mengen?
MFG,
Gono.
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Hi,
danke, dass du dich so schnell gemeldet hast.
Eine Borel-Menge ist eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n. [/mm] So eine Borel-Menge ist ein Element einer Borel-sigma - Algebra (Mengensystem). Diese ist von offenen Mengen des [mm] \IR^n [/mm] erzeugt.
Ist diese Aussage richtig?
Gruß Walodja1987
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Hiho,
> Eine Borel-Menge ist eine offene Teilmenge des [mm]\IR^n.[/mm]
Nein, die Aussage ist falsch.
> So
> eine Borel-Menge ist ein Element einer Borel-sigma -
> Algebra (Mengensystem). Diese ist von offenen Mengen des
> [mm]\IR^n[/mm] erzeugt.
Korrekt, allerdings ist das was ganz anderes, als die vorige Aussage, denn beispielsweise [a,b] ist ebenfalls eine Borel-Menge, aber nicht offen!
D.h. wie ist jede Borel-Menge denn darstellbar, wenn sie Elemente der [mm] \sigma-Algebra [/mm] sind?
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> > Eine Borel-Menge ist eine offene Teilmenge des [mm]\IR^n.[/mm]
>
> Nein, die Aussage ist falsch.
Oh ja, stimmt. Das sind ja Elemente von der Borel- [mm] \sigma- [/mm] Algebra, in der auch die Komplemente eines Elements darin auch drin ist.
> D.h. wie ist jede Borel-Menge denn darstellbar, wenn sie
> Elemente der [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind?
Man kann jede Borel-Menge als Vereinigung, Komplement oder schnitt von offenen Mengen darstellen.
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Bringt mir vielleicht eine Summendarstellung aller Neujahrzahlen weiter?
Ich könnte ja X folgendermaßen definieren:
[mm] X:=\{x=\summe_{i=1}^{\infty}c_i 10^{-i} : c_k=2, c_{k+1}=0, c_{k+2}=1, c_{k+3}=0, \mbox{für mindestens ein} k \in \IN\}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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