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| Aufgabe | Sei [mm]V[/mm] ein VR von Funktionen [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit den Eigenschaften:
1) Jeder Limes einer wachsenden Folge von Funktionen aus [mm]V[/mm] liegt in [mm]V[/mm]
2) Jede stetige Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] liegt in [mm]V[/mm]
Beh.: [mm]V[/mm] enthält alle Borel-messbaren Funktionen [mm]f:\IR\to\IR[/mm] |
Hallo zusammen,
irgendwie fehlt mir hier die zündende Idee.
Meine kargen Überlegungen gehen dahin, dass ja die offenen Intervalle ein Erzeuger der Borel-Algebra über [mm]\IR[/mm] sind und dass die Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder offen sind.
Hmm, aber weiter?
Kann mich bitte jemand mal kräftig schubsen?
Danke vorab!
Gruß
schachuzipus
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auch *push*
Danke
schachuzipus
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Huhu schachuzipus,
ich würde hier anfangen mit dem Satz:
Für jede nichtnegative meßbare Funktion X gibt es eine nichtfallende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen [mm] X_n, [/mm] so dass [mm] $X_n \to [/mm] X$
Bleibt also nur noch z.Z. [mm] $X_n \in [/mm] V$
Kriegst du das hin?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Di 03.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo schachuzipus,
Für eine Teilmenge C von [mm] \IR [/mm] sei [mm] 1_C [/mm] die charakteristische Funktion von C
1. Schritt:
Sei a [mm] \in \IR [/mm] und A:=(- [mm] \infty,a). [/mm] Für n [mm] \in \IN [/mm] def. [mm] f_n [/mm] wie folgt:
[mm] f_n(x):= [/mm] 1 , falls x [mm] \le [/mm] a-1/n, [mm] f_n(x):=0 [/mm] , falls x [mm] \ge [/mm] a und [mm] f_n [/mm] sei in (a-1/n,a) linear und zwar so, dass [mm] f_n [/mm] auf [mm] \IR [/mm] stetig ist.
Zeige: [mm] f_n \le f_{n+1} [/mm] auf [mm] \IR [/mm] und [mm] (f_n) [/mm] konv. punktweise gegen [mm] 1_A
[/mm]
Damit ist [mm] 1_A \in [/mm] V
2. Schritt:
Da die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra von den Intervallen der Form (- [mm] \infty,a) [/mm] erzeugt wird, folgt aus dem 1. Schritt:
[mm] 1_B \in [/mm] V für jede Borelmenge B.
(dafür mußt Du noch was tun !)
Da V ein Vektorraum ist, folgt: jede meßbare Treppenfunktion gehört zu V
3. Schritt: Gonozal hat Dir gezeigt, wie man zeigt: jede nichtnegative messbare Funktion gehört zu V.
4 . Schritt: ist f messbar, so Zerlege f in Negativ- und Positivteil und wende den 3. Schritt an.
Gruß FRED
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Hallo Gono und Fred,
ich danke tüchtig für eure guten Hinweise!
Gruß und schönen Tag!
schachuzipus
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