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| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR \rightarrow \IR^2 [/mm] gegeben durch [mm] f(x)=\vektor{0 \\ x}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f [mm] (B-B^2)-messbar [/mm] ist
b) Zeigen Sie, dass das äußere Maß von {0} [mm] \times [/mm] V Null ist, wobei V [mm] \in \IR [/mm] die Vitali-Menge ist
c) Leiten Sie her, dass {0} [mm] \times [/mm] V Lebesgue-messbar in [mm] \IR^2 [/mm] ist
d) Leiten Sie her, dass f nicht [mm] (L-L^2)-messbar [/mm] ist
e) Es sei g: [mm] \IR \rightarrow \IR^2 [/mm] stetig. Daraus folgt, dass g [mm] (B-B^2)-messbar [/mm] ist. Ist g ganz allgemein [mm] (L-L^2) [/mm] messbar? |
Hallo zusammen,
ich grüble schon seit Stunden übber dieser Aufgabe und komme leider bei keiner der Teilaufgaben wirklich weiter :-(. Ich habe mir nochmal klar gemacht, was eine Vitali-menge ist, was messbar und was Borel- bzw. Lebesgue-messbar bedeutet. Trotzdem komme ich einfach nicht weiter. Ganz ehrlich gesagt ist mir nichtmal so ganz klar, was [mm] (B-B^2) [/mm] bzw. [mm] (L-L^2) [/mm] -messbar bedeuten soll?
Kann mir jemand weiterhelfen, vllt. ein paar Tipps geben, wie ich da überhaupt jeweils rangehen muss?
Danke schonmal!
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]f:\IR \rightarrow \IR^2[/mm] gegeben durch [mm]f(x)=\vektor{0 \\ x}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass f [mm](B-B^2)-messbar[/mm] ist
schau' mal in die Vorlesung. Meist zeigt man, grob gesagt, dass stetige Abbildungen Borelmessbar sind.
("Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von X1 und X2, kurz borel-messbar." Vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki, messbare Funktion.)
Falls nicht:
Nimm' einen Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra [mm] $B^2\,.$ [/mm] Zum Beispiel ist [mm] $\mathcal{O}_i:=\{O \subseteq \IR^i: O \text{ offen }\}$ [/mm] (Offenheit ist hier bzgl. der euklidischen Metrik des [mm] $\IR^i$ [/mm] gemeint) ein Erzeuger von [mm] $B^i\,$ [/mm] ($i=1,2$). Wegen der Stetigkeit von obigem [mm] $f\,$ [/mm] (die solltest Du kurz nachrechnen oder begründen) ist dann [mm] $f^{-1}(O) \in \mathcal{O}_1$ [/mm] für jedes $O [mm] \in \mathcal{O}_2\,.$ [/mm] Daher gilt auch
[mm] $$f^{-1}(O) \in \sigma(\mathcal{O}_1)=B^1$$
[/mm]
für jedes $O [mm] \in \mathcal{O}_2$, [/mm] und ihr habt sicher einen Satz in der Vorlesung, aus dem man nun die [mm] $B^2-B^1$-Messbarkeit [/mm] folgern kann.
(Der Satz sollte etwa lauten:
Sind [mm] $(A,\mathcal [/mm] X)$ und [mm] $(B,\mathcal [/mm] Y)$ Messräume und ist [mm] $\mathcal{E} \subseteq \text{Pot}(B)$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\mathcal [/mm] Y$, so ist $f: A [mm] \to [/mm] B$ jedenfalls messbar, falls [mm] $f^{-1}(E) \in \mathcal [/mm] X$ für alle $E [mm] \in \mathcal [/mm] E$ gilt (kurz: [mm] $f^{-1}(\mathcal [/mm] E) [mm] \subseteq \mathcal [/mm] X$, wobei [mm] $f^{-1}(\mathcal E):=\{f^{-1}(E): E \in \mathcal E\} \subseteq \text{Pot} [/mm] (A)$).
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 16.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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