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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 30.01.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es soll gezeigt werden , dass die Konvergenz der Reihe von [mm] P(A_{n}) [/mm] nicht notwendig für P(A)=0 ist.
Finden sie ein [mm] A_{n} [/mm] mit [mm] \summe_{}^{} P(A_{n})=\infty [/mm] und [mm] A=\emptyset
[/mm]
(Bei unabhängigen [mm] A_{n} [/mm] kann das natürlich nicht vorkommen) |
Ok
also ich sage meine [mm] A_{1},A_{2},A_{3},... \in \varepsilon [/mm] sind abhängig und sogar gleich [mm] A_{1}=A_{2}=A_{3}=... [/mm] daher nenne ich alle A*.
also muss P(A*)=:c wobei gilt 0<c<1
also ist [mm] \summe_{n \in \IN}^{} P(A_{n})=\infty [/mm] aber P(A*)=c
Und wenn ich jetzt sage dass alle meine [mm] A_{1}=A_{2}=A_{3}=... [/mm] und so auch mein A* gleich der leeren Menge ist (A* [mm] =\emptyset) [/mm] dann gilt aber:
[mm] \summe_{n \in \IN}^{} P(A_{n})=0 [/mm] < [mm] \infty [/mm] mit P(A*)=0
Aber da will ich ja nicht hin.
Ich komm hier nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 So 30.01.2011 | | Autor: | Ayame |
Ich hba grad eine neue Idee
[mm] A=\{w \in Omega : w \in A_{n} für endlich viele n \}=\emptyset [/mm] soll gelten nach der Aufgabenstellung
Also nehme ich mir eine Folge [mm] A_{1},A_{2},... [/mm] wobei jedes zweite Glied die leere menge ist. Also muss A dann auch die leere menge sein
Also P(A)=0
Aber da ja jedes zweite glied NICHT die leere menge ist und eine Wahrscheinlichkeit hat gilt
[mm] \summe_{n \in \IN}^{} P(A_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{2n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Da es ja sozusagen die harmonische reihe ist mit einer konstanten davor die die divergenz nicht weiter beeinflusst.
Das müsste richtig sein oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 So 30.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Ich hba grad eine neue Idee
>
> [mm]A=\{w \in Omega : w \in A_{n} für endlich viele n \}=\emptyset[/mm]
> soll gelten nach der Aufgabenstellung
>
> Also nehme ich mir eine Folge [mm]A_{1},A_{2},...[/mm] wobei jedes
> zweite Glied die leere menge ist. Also muss A dann auch die
> leere menge sein
>
> Also P(A)=0
Also [mm] A_1,A_2=\emptyset, A_3, A_4=\emptyset,usw., [/mm] wenn ich Dich recht verstehe. Wenn [mm] A_{2n-1}:=A_0=\mbox{const.}\not=\emptyset, [/mm] dann ist doch ein [mm] x\in A_0 [/mm] in unendlich vielen der [mm] A_n [/mm] enthalten, oder?
Borel-Cantelli sagt doch u.a. für
A = [mm] \limsup A_n [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i [/mm] = [mm] \{\omega:\omega\in A_n \mbox{ unendlich oft}\}
[/mm]
[mm] \sum_{n \geq 1} P(A_n) [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow [/mm] P(A)=0
Probier mal [mm] A_n=[1/(n+1),2/(n+1)] [/mm] auf [mm] ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 30.01.2011 | | Autor: | Ayame |
> Also [mm]A_1,A_2=\emptyset, A_3, A_4=\emptyset,usw.,[/mm] wenn ich
> Dich recht verstehe. Wenn
> [mm]A_{2n-1}:=A_0=\mbox{const.}\not=\emptyset,[/mm] dann ist doch
> ein [mm]x\in A_0[/mm] in unendlich vielen der [mm]A_n[/mm] enthalten,oder?
Ja aber nur wenn man sagen würde dass alle [mm] A_{2n-1} [/mm] gleich (const.) sind.
Ich kann ja sagen dass alle [mm] A_{2n-1} \not= \emptyset [/mm] Aber trotzdem alle [mm] A_{2n-1} [/mm] unterschiedlich sind
Dann wäre [mm] \bigcap_{}^{} \bigcup_{}^{} A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]
> Probier mal [mm]A_n=[1/(n+1),2/(n+1)][/mm] auf
> [mm]([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)[/mm]
Das versteh ich leider nicht.
LG Ayame
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Huhu,
was verstehst du denn an gfm's Hinweis nicht?
Deine Aufgabe ist es doch eine Folge von [mm] A_n [/mm] zu finden, so dass
[mm] $\summe P(A_n) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $P(\limsup A_n) [/mm] = 0$.
Nun hat gfm dir den Hinweis gegeben:
Sei [mm] $A_n [/mm] = [mm] \left[\bruch{1}{n+1},\bruch{2}{n+1}\right], [/mm] P = [mm] \lambda_{[0,1]}$
[/mm]
Was ist [mm] $P(A_n)$ [/mm] für jedes n und folglich [mm] $\summe P(A_n)$ [/mm] ?
Was ist [mm] $\limsup A_n$ [/mm] und folgtlich [mm] $P(\limsup A_n)$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Ayame |
mit [mm] \lambda [/mm] ist das Lebesgue-Maß gemeint, oder?
Ok hatte ich noch nicht aber ich hab mich online bisschen schlau gemacht.
[mm] \lambda([a,b])=b-a
[/mm]
Es misst also die länge eines Intervalls
Sei [mm] A_{n}= [\bruch{1}{n+1},\bruch{2}{n+1}]
[/mm]
Die länge der Intervalle werden beschrieben durch : [mm] \bruch{2}{n+1}-\bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Die Intervalllänge wird mit wachsenden n immer kleiner.
Also ist limsup [mm] \bruch{1}{n+1}=0
[/mm]
Aber [mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Hab ich das so richtig verstanden ?
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Huhu,
> mit [mm]\lambda[/mm] ist das Lebesgue-Maß gemeint, oder?
ja.
> Ok hatte ich noch nicht aber ich hab mich online bisschen
> schlau gemacht.
Kann ich mir nicht vorstellen. (Also, dass du das noch nicht hattest)
> [mm]\lambda([a,b])=b-a[/mm]
>
> Es misst also die länge eines Intervalls
Jap.
> Sei [mm]A_{n}= [\bruch{1}{n+1},\bruch{2}{n+1}][/mm]
>
> Die länge der Intervalle werden beschrieben durch :
> [mm]\bruch{2}{n+1}-\bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{n+1}[/mm]
Jap.
> Die Intervalllänge wird mit wachsenden n immer kleiner.
Jap.
> Also ist limsup [mm]\bruch{1}{n+1}=0[/mm]
Jap, aber das sollst du hier gar nicht berechnen.
Du hast hier den Grenzwert der Intervalllängen berechnet.
Du sollst aber
[mm] $\limsup A_n$ [/mm] berechnen, das ist gar keine Zahl, sondern eine Menge!
Der Limes superior eine Folge von Mengen ist selbst wieder eine Menge!
> Aber [mm]\summe_{}^{} \bruch{1}{n+1}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Ja.
> Hab ich das so richtig verstanden ?
Ja.
Wie oben bereits gesagt, hast du die Aufgabe noch nicht gelöst, weil du [mm] $\limsup A_n$ [/mm] noch gar nicht angegeben hast.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Ayame |
Hallo :)
[mm] limsupA_{n}=\emptyset
[/mm]
Danke schön für die schnelle antwort.
Wünsch dir noch einen schönen Tag
LG Ayame
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