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Hallo,
es währe toll wenn mir jemand helfen könnte die Bogenlänge des Graphen der Funktion [mm] f(x)=x^{2} [/mm] über dem Intervall von I=[-1;1] zu bestimmen.
Hierfür habe ich bereits die Ableitungsfunktion f'(x)=2x in die Formel für die Bogenlänge eingesetzt: l [mm] =\integral_{a}^{b} \wurzel{1+(f'(x))^{2}dx}.
[/mm]
Nun muss ich das unbestimmte Integral [mm] $\integral_{a}^{b} {\wurzel{1+4x²} dx}$ [/mm] errechnen und scheitere schon am Finden der richtigen Substitution.
(Wurzelzeichen ergänzt. Loddar)
Ich bitte um eine möglichst verständliche Erklärung. Wenn es jemand schafft: Vielen herzlichen Dank!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Martin
> Hallo,
> es währe toll wenn mir jemand helfen könnte die Bogenlänge
> des Graphen der Funktion [mm]f(x)=x^{2}[/mm] über dem Intervall von
> I=[-1;1] zu bestimmen.
> Hierfür habe ich bereits die Ableitungsfunktion f'(x)=2x
> in die Formel für die Bogenlänge eingesetzt: l
> [mm]=\integral_{a}^{b} \wurzel{1+(f'(x))^{2}dx}.
[/mm]
> Nun muss ich
> das unbestimmte Integral [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {(1+4x²) dx}
> errechnen und scheitere schon am Finden der richtigen
> Substitution.
Ich denke, du meinst das bestimmte Integral, und dann erst noch dieses (inkl. Wurzel):
[mm] $\integral_{-1}^{+1}\wurzel{1+4x^2}\,dx$
[/mm]
Da steigen in mir vage Erinnerungen an diese Identität hoch:
[mm] $1+\sinh^2(x)=\cosh^2(x)$
[/mm]
Deshalb erscheint es mir aussichtsreich zu sein, folgendes zu versuchen:
[mm] $4x^2=\sinh^2(x)$
[/mm]
oder
[mm] $x=\bruch{1}{2}\sinh(x)$
[/mm]
und damit
[mm] $dx=\bruch{1}{2}\cosh(x) [/mm] dx$
Dann kann man einfach mit Hilfe der Partiellen Integration weiterfahren.
Ich hoffe, du kommst jetzt weiter.... 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Mithrand1r,
Wir substituieren [m]x^2 = - \tfrac{{k^2 }}{4}[/m]:
[m]x^2 = - \frac{{k^2 }}
{4}\quad \begin{array}{*{20}c}
{\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} } & {x\left( k \right) = - \sqrt { - \frac{{k^2 }}
{4}} = - \frac{{ik}}
{2}} \\
{\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} } & {x\left( k \right) = \sqrt { - \frac{{k^2 }}
{4}} = \frac{{ik}}
{2}} \\
\end{array}[/m].
Fall 1:
[m]\begin{gathered}
k = - i\frac{x}
{2} \Leftrightarrow 2k = - ix \Rightarrow \bar x\left( k \right) = \frac{{2k}}
{{ - i}} = - \frac{{2ki}}
{{ - 1}} = 2ki \hfill \\
x'\left( k \right) = - \frac{i}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Fall 2:
[m]\begin{gathered}
k = i\frac{x}
{2} \Leftrightarrow 2k = ix \Rightarrow \bar x\left( k \right) = \frac{{2k}}
{i} = \frac{{2ki}}
{{ - 1}} = - 2ki \hfill \\
x'\left( k \right) = \frac{i}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
im ersten Fall:
[m] = \int\limits_{ - 2i}^{2i} {\sqrt {1 - k^2 } *\left( { - \frac{i}
{2}} \right)} dk = - \frac{i}
{2}\int\limits_{ - 2i}^{2i} {\sqrt {1 - k^2 } } dk[/m]
im zweiten Fall:
[m]\int\limits_{2i}^{ - 2i} {\sqrt {1 - k^2 } *\frac{i}
{2}} dk = - \frac{i}
{2}\int\limits_{ - 2i}^{2i} {\sqrt {1 - k^2 } } dk[/m]
Also sind beide Fälle identisch!
Nebenrechnung:
Wir substituieren: [m]k\left( q \right) = \sin \left( q \right);\;k'\left( q \right) = \cos \left( q \right)[/m]. Dann:
[m]\begin{gathered}
\int {\sqrt {1 - k^2 } } dk = \int {\sqrt {1 - \sin ^2 \left( q \right)} } \cos \left( q \right)dq = \int {\underbrace {\cos \left( q \right)}_{u'}\underbrace {\cos \left( q \right)}_v} dq = \hfill \\
\sin \left( q \right)\cos \left( q \right) - \int {\sin \left( q \right)*\left( { - \sin \left( q \right)} \right)} dq = \sin \left( q \right)\cos \left( q \right) + \int {\sin ^2 \left( q \right)dq} \hfill \\
\Leftrightarrow \int {\cos ^2 \left( q \right) - \sin ^2 \left( q \right)dq} = \sin \left( q \right)\cos \left( q \right) \Leftrightarrow \int {\left( {\cos ^2 \left( q \right) - 1 + \cos ^2 \left( q \right)} \right)dq} \hfill \\
= \sin \left( q \right)\cos \left( q \right) \Leftrightarrow 2\int {\cos ^2 \left( q \right)dq} - \int {1dq} = \sin \left( q \right)\cos \left( q \right) \hfill \\
\Leftrightarrow 2\int {\cos ^2 \left( q \right)dq} - q = \sin \left( q \right)\cos \left( q \right) \Leftrightarrow \int {\cos ^2 \left( q \right)dq} = \frac{{\sin \left( q \right)\cos \left( q \right) + q}}
{2} \hfill \\
= \frac{{k\cos \left( {\arcsin \left( k \right)} \right) + \arcsin \left( k \right)}}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Jetzt setzen wir die Integrationsgrenzen ein und multiplizieren mit dem Koeffizienten [mm] $-\tfrac{i}{2}$ [/mm] vor dem Integral:
[m]\begin{gathered}
- \frac{i}
{2}\left( {\frac{{2i\cos \left( {\arcsin \left( {2i} \right)} \right) + \arcsin \left( {2i} \right)}}
{2} - \frac{{ - 2i\cos \left( {\arcsin \left( { - 2i} \right)} \right) + \arcsin \left( { - 2i} \right)}}
{2}} \right) \hfill \\
= \frac{i}
{2}\left( {\frac{{ - 2i\cos \left( {\arcsin \left( {2i} \right)} \right) - \arcsin \left( {2i} \right) - 2i\cos \left( {\arcsin \left( { - 2i} \right)} \right) + \arcsin \left( { - 2i} \right)}}
{2}} \right) \hfill \\
= \frac{{2\cos \left( {\arcsin \left( {2i} \right)} \right) - i\arcsin \left( {2i} \right) + 2\cos \left( {\arcsin \left( { - 2i} \right)} \right) + i\arcsin \left( { - 2i} \right)}}
{4} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Weiter weiß ich im Moment nicht. Man bräuchte jetzt die Werte für [mm] $\arcsin(2i)$ [/mm] und [mm] $\arcsin(-2i)$.
[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 So 06.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab das Integral in allen Schulformelsammlungen (2) gefunde!Guck mal nach und differenzier einfach das Ergebnis. Sonst helf ich dir heut abend.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Martin,
wie leduart bereits geschrieben hat, ist Deine gesuchte Stammfunktion in Formelsammlungen zu finden:
$\integral_{}^{} {\wurzel{z^2 \pm a^2} \ dz} \ = \ \bruch{z}{2} * \wurzel{z^2 \pm a^2} \ \pm \ \bruch{a^2}{2} * \ln \left| z + \wurzel{z^2 \pm a^2 \right|$
Mit $a \ = \ 1$ sowie $z \ = \ 2x$ kannst Du nun Deine gesuchte Bogenlänge ermitteln.
Gruß
Loddar
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