Bogenlänge für f(x)=1/x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wo hast du diese Aufgabe her.ich wüsste auch keine Hilfreiche Vereinfachung.Habe es in einem Matheprogramm ausrechnen lassen und das ist ein unmöglich analytisch zu berechnendes ergebnis.mfg daniel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 08.12.2005 | | Autor: | peter128 |
Das Problem hat sich folgendermaßen ergeben:
Ich will ein PHP-Skript schreiben, das aus einer Farbe, die in RGB-Werten angegeben ist, hellere und dunklere Farben des gleichen Farbtons berechnet.
Die RGB-Werte lassen sich in HSV-Werte umrechnen (h=Farbton, s=Sättigung, V=Helligkeitswert). Um alle unterschiedlichen Farben für einen Farbton anzuzeigen trägt man einfach zB nach rechts den Helligkeitswert v und nach oben die Sättigung s an. (Hab hier eine kleine Veranschaulichung erstellt für Farbton h=210: ![[]](/images/popup.gif) http://www.vs4828.vserver4free.de/farbe.jpg)
Wenn man jetzt, um eine dunklere Farbe zu bekommen, von einem Punkt in diesem Koordinatensystem einfach nur nach links geht, dann bekommt man besonders bei Farben mit v=1 und niedrigem s einen sehr "dreckig" aussehenden Farbverlauf.
Deshalb bin ich an die Sache so herangegangen, dass ich die Punkte A(v=1|s=0) und B(v=0|s=1) und den Punkt C (dessen s- und v-Werte aus den RGB-Werten der Ausgangsfarbe berechnet wird) auf eine Hyperbel lege (f(x)=1/x), wobei xA=yB, yA=xB, xC=xA+(xB-xA)*Sättigung und yC=yB+(yA-yB)*helligkeitswert.
Je nachdem welche Ausgangsfarbe man hat, liegen also A und B mehr oder weniger nahe bei der Winkelhalbierenden des Quadranten. Wenn die beiden Punkte nahe dran liegen hat man dazwischen fast eine Gerade, wenn sie weit weg sind liegt die Hyperbel fast auf der s- und v-Achse.
Um die helleren und dunkleren Farben jetzt endlich berechnen zu können benötige ich jetzt aber eben die Bogenlängen zwischen den drei Punkten und da komm ich eben nicht weiter.
mfg Peter
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Hallo:Das klingt sehr interessant.Ich kann da zwar nicht mitreden aber mir gefällt die mathematische Anwendung dahinter.Also 1/x ist nicht ganz eine hyperble.
eine hyberbel ist: b²x²-a²y²=a²b² aber man kann sich 1/x schon als hyberbelastähnlich vorstellen-aber egal.
Unser problem: die Bogenlänge zwischen a unb einer Funktion 1/x!!!
die Formel: [mm] \integral_{a}^{b} {\wurzel{1+x^{-4}} dx} [/mm] wobei a und b fest vorgegeben sind.
So eines können wir machen und das ist fast das einzige nämlich dem Computer sagen wie er es NÄHERUNGSWEISE berechnen kann. Also dass wir schöne ganze Werte bekommen und eine schöne Stammfunktion können wir vergessen  !!
Es gibt eine ganz gute Methode so etwas zu rechnen:
Es gibt die so genannte Simpson'sche Formel mit der du das Integral näherungsweise berechnen kannt. Du teilst das Intervall [a,b] in n teilintervalle ein und berechnest mittels Trapeze dein Fläche(Integral)!!
Also diese Formel kannst du dir wenn du unter google einfach simpson eingibt leicht erhalten und falls du sie nicht verstehst frage mich!!Ich weiß sie auch nicht auswendig !!
eine andere etwas ungenau art wäre dass du eine taylorentwicklung von [mm] \wurzel{1+x^{-4}} [/mm] machst.
Formel: [mm] f(x)_{n}= \summe_{i=0}^{n}{f^{(i)}*x^{i}/(n!)}
[/mm]
[mm] f^{(i)} [/mm] bedeutet die i-te Ableitung an der stelle 0 z.B!!
Also probier das einmal und sieh dir dein ergebnis an wie genau es du benötigst.
mfg daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 Fr 09.12.2005 | | Autor: | peter128 |
Hallo Daniel und wer sonst noch mitliest,
ich hab mir die Simpson'sche Formel auf wikipedia jetzt mal angeschaut. Das mit der Summe ist ein Problem denk ich, weil ich für die Berechnung von der Farbe die Gleichung für die Bogenlänge dann nach a oder b umformen muss, also aus einer gegebenen Bogenlänge (um wie viel dunkler oder heller) und einem Punkt dann den anderen Punkt berechnen. Außerdem versteh ich die Formel für das Restglied noch nicht so ganz...
Die Sache mit der Näherung hat mich aber jetzt auf eine andere Idee gebracht:
Ich hab mir mal meinen Funktionsplotter genommen und einfach mal das "+1" unter der Wurzel weggemacht, also hatt ich dann nur noch [mm] f(x)=x^{-2} [/mm] als Integrand. Daraus hab ich dann [mm] f(x)=x^{-m}*n+1 [/mm] gemacht und mit m und n ein bisschen rumprobiert. Für m=2,6 und n=0,4 hab ich jetzt eine Funktion gefunden deren Graph ziemlich ähnlich dem von [mm] f(x)=\wurzel{1+x^{-4}} [/mm] ist. Im Plotter eingezeichnete Integralfunktionen liegen auch fast aufeinander. Der neue Integrand lässt sich jetzt auch sehr einfach Integrieren und somit hab ich dann als Stammfunktion [mm] F(x)=-0.25*x^{-1.6}+x [/mm] und für die Farbberechnung sollte die Näherung reichen :)
Das probier ich dann aber erst morgen aus...
mfg Peter
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