Bogenlänge einer Kurve im IR^2 < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 So 06.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Bogenlänge folgender Kurven $\ f : I [mm] \to \IR^2 [/mm] $.
$\ f(t) := [mm] (t^3, \frac{3}{2}t^2) [/mm] $ für $\ I = [a,b] $ mit $\ 0 < a < b $ |
Hallo,
ich steck' bei dieser Aufgabe etwas fest und würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
Es ist $\ f'(t) = [mm] (3t^2, [/mm] 3t) $ und $\ [mm] \| [/mm] f'(t) [mm] \| [/mm] = [mm] \| (3t^2, [/mm] 3t) [mm] \| [/mm] = [mm] \wurzel{|3t^2|^2+|3t|^2} [/mm] = [mm] \wurzel{|9t^4|+|9t^2|} [/mm] = [mm] \wurzel{9t^4+9t^2} [/mm] = [mm] \wurzel{9t^2(t^2+1)} [/mm] = ...$
Alles weitere bringt mich irgendwie nicht weiter. Ich konnte bisher leider auch nicht passend substituieren.
Hat jemand einen Tipp?
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo!
> Berechnen Sie die Bogenlänge folgender Kurven [mm]\ f : I \to \IR^2 [/mm].
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> [mm]\ f(t) := (t^3, \frac{3}{2}t^2)[/mm] für [mm]\ I = [a,b][/mm] mit [mm]\ 0 < a < b[/mm]
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> Hallo,
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> ich steck' bei dieser Aufgabe etwas fest und würde mich
> freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
>
> Es ist [mm]\ f'(t) = (3t^2, 3t)[/mm] und [mm]\ \| f'(t) \| = \| (3t^2, 3t) \| = \wurzel{|3t^2|^2+|3t|^2} = \wurzel{|9t^4|+|9t^2|} = \wurzel{9t^4+9t^2} = \wurzel{9t^2(t^2+1)} = ...[/mm]
>
> Alles weitere bringt mich irgendwie nicht weiter. Ich
> konnte bisher leider auch nicht passend substituieren.
>
> Hat jemand einen Tipp?
Wenn ich das richtig sehe (wegen 0 < a < b), ist ja t > 0, also haben wir:
[mm] \integral{\sqrt{(3*t^{2})^{2} + (3*t)^{2}} dt} [/mm] = [mm] \integral{3*t*\sqrt{t^{2} +1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\frac{3}{2}*(\sqrt{t^{2} +1})*(2t) dt},
[/mm]
und das hat die Form $f'(g(t))*g'(t)$ mit $g(t) = [mm] t^{2}+1$...
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 So 06.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin Stefan,
> Hallo!
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> > Berechnen Sie die Bogenlänge folgender Kurven [mm]\ f : I \to \IR^2 [/mm].
>
> >
> > [mm]\ f(t) := (t^3, \frac{3}{2}t^2)[/mm] für [mm]\ I = [a,b][/mm] mit [mm]\ 0 < a < b[/mm]
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> > Hallo,
> >
> > ich steck' bei dieser Aufgabe etwas fest und würde mich
> > freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
> >
> > Es ist [mm]\ f'(t) = (3t^2, 3t)[/mm] und [mm]\ \| f'(t) \| = \| (3t^2, 3t) \| = \wurzel{|3t^2|^2+|3t|^2} = \wurzel{|9t^4|+|9t^2|} = \wurzel{9t^4+9t^2} = \wurzel{9t^2(t^2+1)} = ...[/mm]
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> > Alles weitere bringt mich irgendwie nicht weiter. Ich
> > konnte bisher leider auch nicht passend substituieren.
> >
> > Hat jemand einen Tipp?
>
> Wenn ich das richtig sehe (wegen 0 < a < b), ist ja t > 0,
> also haben wir:
>
> [mm]\integral{\sqrt{(3*t^{2})^{2} + (3*t)^{2}} dt}[/mm] =
> [mm]\integral{3*t*\sqrt{t^{2} +1} dt}[/mm] =
> [mm]\integral{\frac{3}{2}*(\sqrt{t^{2} +1})*(2t) dt},[/mm]
>
> und das hat die Form [mm]f'(g(t))*g'(t)[/mm] mit [mm]g(t) = t^{2}+1[/mm]...
Achso, ja. Ich hab sogar in dieser Richtung weitergemacht, dachte aber, ich müsste irgendwie unbedingt so substituieren, dass ich das $\ t $ durch etwas anderes ausdrücken kann.
Aber durch das Integral lässt sich der Parameter ja ohnehin ermitteln.
>
> Grüße,
> Stefan
Danke für Deine Hilfe!
Grüße
ChopSuey
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