Bogenlänge der Sinus Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | (2) Zeichnen Sie die Kurve und berechnen Sie ihre Länge r = [mm] sin(\alpha) [/mm] und [mm] \alpha [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
(alpha ist eigentlich phi, aber ich finde den Buchstaben hier nicht..) |
Hi,
Wir haben dazu eine Formel bekommen
[mm] L=\integral_{\alpha}^{/pi}{(r(\alpha))^2 + (\bruch{dr(\alpha)}{d\alpha})^2 dx}
[/mm]
Ich verstehe nicht wie ich die Formel vor alle den zweiten teil anwenden soll ! heisst dr geteilt durch d [mm] \alpha [/mm] dass ich den winkel ableiten soll, also sin ableiten soll und dann ^2 nehmen soll ?
Danke für die Antworten.
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Hallo Yuumura,
[mm] \alpha [/mm] schreibt man hier \alpha, aber für das griechische phi gibt es drei verschiedene Schreibweisen:
[mm] \phi[/mm] \phi
[mm] \varphi[/mm] \varphi
[mm] \Phi[/mm] \Phi
Ich nehme an, du brauchst eigentlich die zweite davon.
Die Aufgabe liest sich ein bisschen kraus. Rechnet Ihr gerade in Polarkoordinaten? Was soll dann das dx am Ende? Oder rechnet Ihr kartesisch? Was soll dann das [mm] r(\varphi)?
[/mm]
Stell doch bitte den ersten Aufgabenteil zur Kenntnis mit ein.
Nur zur Sicherheit - Deine Formel sieht also so aus:
[mm] \integral^{\pi}_{\varphi \red{??}}{(r(\varphi))^2 + \left(\bruch{dr(\varphi)}{d\varphi}\right)^2\ dx}
[/mm]
Richtig? Ich hab sie ein bisschen aufgehübscht, eigenartig ist sie aber geblieben.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
Danke für deine Antwort, ja so sieht meine Formel aus.
Ehm Grundsätzlich weiss ich nicht ob wir in kartesischen oder polarkoordinaten rechnen... ich glaube in Polarkoordinaten !
Kartesisch habe ich das mal versucht wär cool wenn das auch jemand kurz schreiben könnte wie man das kartesisch macht :D ich glaube aber es ist leichter in Polarkoordinaten.
Ja also gesucht ist die Bogenlänge und diese Formel wurde uns gegeben...
Aber von Polarkoordinaten hatten wir denk ich, aber leider nur am Rande. Ich weiss allerdings schon was das ist ( r gibt den abstand, und der winkel in phi) etc... nur nicht wie ich da integrieren soll.
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Hallo Yuumura,
> Danke für deine Antwort, ja so sieht meine Formel aus.
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> Ehm Grundsätzlich weiss ich nicht ob wir in kartesischen
> oder polarkoordinaten rechnen... ich glaube in
> Polarkoordinaten !
> Kartesisch habe ich das mal versucht wär cool wenn das
> auch jemand kurz schreiben könnte wie man das kartesisch
> macht :D ich glaube aber es ist leichter in
> Polarkoordinaten.
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> Ja also gesucht ist die Bogenlänge und diese Formel wurde
> uns gegeben...
> Aber von Polarkoordinaten hatten wir denk ich, aber leider
> nur am Rande. Ich weiss allerdings schon was das ist ( r
> gibt den abstand, und der winkel in phi) etc... nur nicht
> wie ich da integrieren soll.
>
>
Die Formel für die Bogenlänge in kartesischen Koordinaten ist doch:
[mm]L=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{\wurzel{1+\left(\bruch{dy}{dx}\right)^{2}} \ dx}[/mm]
, wobei [mm]y=y\left(x\right)[/mm]
Oder in Polarkoordinaten:
[mm]L=\integral_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}{\wurzel{\left( \ r\left(\varphi\right) \ \right)^{2}+\left( \ \bruch{dr\left(\varphi)}{d\varphi} \ \right)^{2}} \ d\varphi}[/mm]
,wobei
[mm]x=x\left(\varphi\right)=r\left(\varphi\right)*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=y\left(\varphi\right)=r\left(\varphi\right)*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
In beiden Fällen brauchst Du die Ableitung von y nach x bzw. von r nach [mm]\varphi[/mm].
Das setzt Du dann in die entsprechende Formel ein und intergrierst dann.
Gruß
MathePower
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