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| Aufgabe | | Berechnen sie die Bogenlänge der Kurve y=cosh(x) Im Intervall [-1;1] |
Hallo:)
Man hat ja die Formel für die Bogenlänge gegeben als:
[mm] \integral_{}^{} \wurzel{1+f'(x)^2}\, [/mm] dx
Also in meinem Fall:
[mm] \integral_{-1}^{1} \wurzel{1+sinh(x)^2}\, [/mm] dx
Jetz habe ich mich folgendes Gefragt:
Es gilt doch [mm] sin(x)^2+cos(x)^2=1, [/mm] gilt dann auch [mm] sinh(x)^2+cosh(x)^2=1
[/mm]
sodass ich zu [mm] cosh(x)=\wurzel{1-sinh(x)^2} [/mm] erhalte?
Wenn dies funktionieren sollte stören ja noch ein wenig die Vorzeichen, kann man da irgendeinen Trick anwenden das ich ein angenehmeres Integral erhalten kann? oder wie würdet ihr das Integral lösen?
mfg mathefreak
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Hallo mathefreak,
> Berechnen sie die Bogenlänge der Kurve y=cosh(x) Im
> Intervall [-1;1]
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> Hallo:)
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> Man hat ja die Formel für die Bogenlänge gegeben als:
>
> [mm]\integral_{}^{} \wurzel{1+f'(x)^2}\,[/mm] dx
>
> Also in meinem Fall:
>
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} \wurzel{1+sinh(x)^2}\,[/mm] dx ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetz habe ich mich folgendes Gefragt:
>
> Es gilt doch [mm]sin(x)^2+cos(x)^2=1,[/mm] gilt dann auch
> [mm]sinh(x)^2+cosh(x)^2=1[/mm]
So ähnlich, es gilt [mm]\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1[/mm]
Das kannst du mal nachprüfen, indem du die Def. von [mm]\sinh,\cosh[/mm] mit der e-Funktion hernimmst und die obige Beziehung nachrechnest ...
>
> sodass ich zu [mm]cosh(x)=\wurzel{1-sinh(x)^2}[/mm] erhalte?
>
> Wenn dies funktionieren sollte stören ja noch ein wenig
> die Vorzeichen, kann man da irgendeinen Trick anwenden das
> ich ein angenehmeres Integral erhalten kann? oder wie
> würdet ihr das Integral lösen?
Kein Trick nötig, nur das korrekte Additionstheorem
>
>
> mfg mathefreak
Gruß
schachuzipus
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Also ich hab das ganze dann mal ersetzt als
[mm] \integral_{-1}^{1} cosh(x)^2\, [/mm] dx
Was mich zu der Stammfunktion:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}[cosh(x)*sinh(x)+x]
[/mm]
Wenn ich dann die Grenzen einsetze bekomme ich nicht das richtige ergebnis hab ich irgendwas vergessen??
Es soll folgendes rauskommen:
[mm] e-\bruch{1}{e}
[/mm]
mfg mathefreak
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mi 08.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand doch ne Wurzel? wie kommst du auf [mm] cosh^2?
[/mm]
Gruss leduart
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Na daran kanns natürlich auch liegen:) Löscht mal bitte die vorherigen Posts xD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mi 08.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
löschen ist nicht, die Schande bleibt stehen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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