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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Fr 06.04.2007 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurve f: [0,1] [mm] \mapsto \IR^{3}
[/mm]
mit f(t) = [mm] (t^{2},t^{3},t^{2}) [/mm] |
Hi,
nun muss ich ja die Länge von f'(t) berechnen:
f'(t)= (2t, [mm] 3t^{2}, [/mm] 2t)
Länge = [mm] \wurzel{(2t)^{2} +(3t^{2})^{2} + (2t)^{2}}
[/mm]
Und nun das bestimmte Integral bilden...
Ich hab ganz große schwierigkeiten zu integrieren...
[mm] l=\integral_{0}^{1}{ \wurzel{9t^{4} + 8t^{2}} dx}
[/mm]
Wie gehe ich vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Spoony!
Das Integral kannst Du lösen, indem Du zunächst ausklammerst und anschließend substituierst:
[mm] $\wurzel{9t^4+8t^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9t^2*\left(t^2+\bruch{8}{9}\right)} [/mm] \ = \ [mm] 3t*\wurzel{t^2+\bruch{8}{9}}$
[/mm]
Nun substituieren: $z \ := \ [mm] t^2+\bruch{8}{9}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 06.04.2007 | | Autor: | SpoOny |
Vielen Dank,
> [mm]\wurzel{9t^4+8t^2} \ = \ \wurzel{9t^2*\left(t^2+\bruch{8}{9}\right)} \ = \ 3t*\wurzel{t^2+\bruch{8}{9}}[/mm]
> Nun substituieren: [mm]z \ := \ t^2+\bruch{8}{9}[/mm] .
aber nun hab ich doch
[mm] \integral_{0}^{1}{3t\*\wurzel{z} dt} [/mm]
ich kann ja jetzt nicht 3t und [mm] \wurzel{z} [/mm] integrieren, weil das doch ein Produkt und dazu noch zwei Variablen....stell mich da etwas ungeschickt an
also Stammfunktion bei 3t wäre ja 1,5 [mm] t^{2}
[/mm]
und [mm] \wurzel{z} [/mm] dann 2/3 [mm] z^{3/2}
[/mm]
aber ich kann das ja nicht so machen....
Hab wie gesagt große " Integrationsprobleme" ((-:
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Hallo,
mit [mm] z=t^2+\frac{8}{9} [/mm] hast du doch [mm] z-\frac{8}{9}=t^2 \Rightarrow t=\sqrt{z-\frac{8}{9}}
[/mm]
Damit [mm] \frac{dt}{dz}=\frac{1}{2\sqrt{z-\frac{8}{9}}} \Rightarrow dt=\frac{dz}{2\sqrt{z-\frac{8}{9}}}
[/mm]
Also [mm] \integral{3t\sqrt{t^2+\frac{8}{9}} dt}=\integral{3\sqrt{z-\frac{8}{9}}\cdot{}\sqrt{z}\cdot{}\frac{dz}{2\sqrt{z-\frac{8}{9}}}}
[/mm]
[mm] =\frac{3}{2}\cdot{}\integral{\sqrt{z}dz}=\frac{3}{2}\cdot{}\integral{z^{\frac{1}{2}}dz}=...
[/mm]
Dann rücksubstituieren und die Grenzen einsetzen.
Gruß
schachuzipus
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hi loddar,
erstmal danke für dein bemühen.
allerdings haben wir immer noch ein problem:wie kommt man auf das
> [mm]\frac{dt}{dz}=\frac{1}{2\sqrt{z-\frac{8}{9}}} \Rightarrow dt=\frac{dz}{2\sqrt{z-\frac{8}{9}}}[/mm]
also wahrscheinlich fehlen uns hier ein paar grundlagen.eine grooooooooßßßßßeeee lücke gilt zu stopfen!  ich hoffe du kannst uns weiterhelfen!
danke im vorraus
lg mathe_aeffchen
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Hallo mathe_aeffchen,
nun [mm] t(z)=\sqrt{z-\frac{8}{9}}
[/mm]
Damit ist [mm] t'(z)=\frac{dt}{dz}=\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{z-\frac{8}{9}}} [/mm] nach der Kettenregel und der Regel [mm] (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
[/mm]
Damit ist dann [mm] dt=\frac{dz}{2\sqrt{z-\frac{8}{9}}}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ahhhh,wir leiten ab!!!
Ok, das haben wir verstanden.
nur noch eins nicht: warum leiten wir nochmal ab?
bitte nicht verzweifeln!!!
lg mathe_aeffchen
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Hi,
siehe Skript ANA I, 14.3,Proposition 14.8 auf S.138 zur Substitutionsregel
Gruß
schachuzipus
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ähhhmmmm....ja, das ist eine hervorragende idee!! (verlegen-zu-boden-guck)
vielen dank für deine geduld!!
lg mathe_aeffchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe_äffchen!
Bei der Substitution in einem Integral müssen wir auch das sogenannte "Differential" [mm] $\integral{f(x) \ \red{dx}}$ [/mm] , welches uns angibt, nach welcher Variable integriert werden soll, durch die neue Variable ersetzen.
Bei der Substitution $z \ := \ [mm] \varphi(x)$ [/mm] erreichen wir das, indem wir die Definition der Ableitung $z'(x) \ := \ [mm] \bruch{dz}{dx}$ [/mm] anwenden.
Dafür leiten wir also die Substitutionsfunktion $z \ = \ [mm] \varphi(x)$ [/mm] ab und stellen nach $dx \ = \ ...$ um und setzen dies in unser Integral ein.
Denn damit erhalten wir ein Integral mit dem "neuen" Differential $dz_$ und können endlich "gefahrlos" integrieren.
Gruß
Loddar
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Ein ganz großes Lob:
Ihr seid wirklich spitze!!!!
Hab jetzt etwas mehr verstanden!!
Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo SpoOny!
Es geht auch einen kleinen Schritt schneller (ohne Umformung nach $t \ = \ ...$ ) :
$z \ = \ [mm] t^2+\bruch{8}{9}$ $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] \ = \ 2t$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dt \ = \ [mm] \bruch{dz}{2t}$
[/mm]
Und dies nun in das Integral [mm] $\integral{3t*\wurzel{z} \ dt}$ [/mm] einsetzen und kürzen.
Gruß
Loddar
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