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| Aufgabe | Ein $ a-(n,k,r)- $ Blockplan ist eine n-elementige Menge [mm] \Omega [/mm] zusammen mit einer Menge [mm] \mathcal{B} [/mm] von k-elementigen Teilmengen, sodass für alle $ I [mm] \subset \Omega [/mm] $ mit $ | I | = a $
$ # [mm] \{ B \in \mathcal{B} | I \subset B \} [/mm] = a $
Eine Matrix $ J [mm] \in \{ 0, 1 \}^{ m \times \Omega} [/mm] $ heißt Inzidenzmatrix zu dem Blockplan $ ( [mm] \Omega, \mathcal{B} [/mm] ) $, wenn $ m = | [mm] \mathcal{B} [/mm] | $ und die Blöcke $ B [mm] \in \mathcal{B} [/mm] $ den Zeilen entsprechen, das heißt, die Blöcke sind gerade
$ [mm] B_{i} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega | v_{i, \omega}= 1 \} [/mm] $, wobei
[mm] v_{i} [/mm] = [mm] (v_{i,\omega})_{\omega \in \Omega} [/mm] die Zeilen von $ J $ sind.
1) Sei $ C $ ein selbstdualer, 4-dividierbarer binärer [24,12,8]-Code mit Erzeugermatrix
[mm] \pmat{ (0,...,0) & 0 & 1 & (1,...,1) \\ 1_{11 \times 11} & (1,...,1)^{\tau} & (0,...,0)^{\tau} & A } [/mm] mit
$ A [mm] \in \{0,1\}^{11 \times 11} [/mm] $
Zeigen Sie, dass $ A + E $, wobei E die Matrix ist, die in jedem Eintrag eine Eins hat, Inzidenzmatrix eines $ 2 - (11, 5, 2) - $ Blockplans ist.
2) Zeigen Sie ferner, das es bis auf Nummerierung nur einen solchen gibt. |
Hallo allerseits!
Da werden wir in Codierungstheorie plötzlich Hals über Kopf mit dem auf dem ersten Blick kombinatorischen Monstrum namens Blockplan konfrontiert. Irgendwie schmeckt mir das noch nicht so ganz.
Was hier in 1) zu zeigen ist, ist ja, dass die Zeilen von A genau 6 Einsen haben und dass für alle Paare $ 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] 11 $ genau zwei Zeilen von A existieren, die in den entsprechenden Spalten einen Nulleintrag haben. Ersteres ist klar und liegt ab der Minimaldistanz und der 4-Dividierbarkeit des Codes. Aber beim anderen bin ich bislang nur gescheitert, hab versucht dies irgendwie aus der Selbstdualität zu folgern, das trug aber keine Früchte.
Und bei 2) habe ich keinen blassen Schimmer, außer vielleicht die viel zu aufwendige "Brute Force" Methode, einfach alle Teilmengen von 5-elementigen Teilmengen von $ [mm] \{1,...,11\} [/mm] $ zu untersuchen und festzustellen, dass die davon, die ein solcher Blockplan sind, alle im Nummerierungssinn äquivalent sind.
Das muss doch auch irgendwie einfacher gehen. Mit Mitteln der Codierungstheorie vielleicht? Ein solcher Blockplan entspräche ja einem Code $ C [mm] \subset \IF_{2}^{11} [/mm] $, der nur Codewörter vom Gewicht 5 enthält, sodass jeder Vektor mit Gewicht 2 in genau zwei Kugeln mit Radius 3 um Codewörter liegt. Also wäre zu zeigen, dass ein solchen bis auf Vertauschung der Spalten eindeutig ist, aber warum ist er das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 18.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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