Blätterzahl < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 03.01.2012 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit Überlagerungen und ich habe folgendes gelesen:
Ist $p : Y [mm] \to [/mm] X$ eine Überlagerung des wegzusammenhängenden Raumes $X$, so ist die Blätterzahl der Überlagerung an der Stelle $x [mm] \in [/mm] X$ durch die Mächtigkeit der Menge [mm] $p^{-1}(x)$ [/mm] definiert....Die Blätterzahl ist unabhängig von x.
Leider wird diese Behauptung im Buch nicht näher erläutert.
Kennt jemand einen guten Beweis dafür, dass die Blätterzahl unabhängig ist?
Viele Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 03.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Joan,
> ich beschäftige mich gerade mit Überlagerungen und ich
> habe folgendes gelesen:
>
> Ist [mm]p : Y \to X[/mm] eine Überlagerung des
> wegzusammenhängenden Raumes [mm]X[/mm], so ist die Blätterzahl der
> Überlagerung an der Stelle [mm]x \in X[/mm] durch die Mächtigkeit
> der Menge [mm]p^{-1}(x)[/mm] definiert....Die Blätterzahl ist
> unabhängig von x.
>
> Leider wird diese Behauptung im Buch nicht näher
> erläutert.
> Kennt jemand einen guten Beweis dafür, dass die
> Blätterzahl unabhängig ist?
das haengt ein wenig davon ab, wie "Ueberlagerung" definiert ist. Hast du z.B. eine Definition ![[]](/images/popup.gif) wie hier, so folgt damit ziemlich direkt, dass [mm] $|p^{-1}(x)|$ [/mm] lokal konstant ist: schliesslich ist [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] homoeomorph zu $U [mm] \times p^{-1}(x)$, [/mm] und bezueglich dieses Homeomorphismus hat $p$ um $x$ die Form $U [mm] \times p^{-1}(x) \ni [/mm] (s, t) [mm] \mapsto [/mm] s [mm] \in [/mm] U$. Damit gilt fuer jedes $x' [mm] \in [/mm] U$, dass [mm] $p^{-1}(x')$ [/mm] ebenfalls genauso viele Elemente wie [mm] $p^{-1}(x)$ [/mm] hat.
Da $X$ nun wegzusammenhaengend ist und $x [mm] \mapsto |p^{-1}(x)|$ [/mm] lokal konstant auf $X$ ist, folgt das es sogar konstant ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 03.01.2012 | | Autor: | Joan2 |
Achso. Das mit dem lokal konstant habe ich mehrmals gelesen, aber es wohl nicht ganz verstanden.
D.h., wenn ich richtig verstanden habe, muss man nur zeigen, dass die Blätterzahl der Überlangerungen lokal konstant ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achso. Das mit dem lokal konstant habe ich mehrmals
> gelesen, aber es wohl nicht ganz verstanden.
>
> D.h., wenn ich richtig verstanden habe, muss man nur
> zeigen, dass die Blätterzahl der Überlangerungen lokal
> konstant ist, oder?
Jein.
Die Blaetterzahl definiert man ja dadurch, dass die Zahl [mm] $|\pi^{-1}(x)|$ [/mm] unabhaengig von $x$ ist. Diese Zahl (die somit nur von [mm] $\pi$ [/mm] und $X$ selber abhaengt) wird die Blaetterzahl der Ueberlagerung genannt.
Du musst also zeigen, dass die Abbildung $x [mm] \mapsto |\pi^{-1}(x)|$ [/mm] lokal konstant ist. Dazu nimmst du zu $x [mm] \in [/mm] X$ eine klein genuge Umgebung $U [mm] \subseteq [/mm] X$, auf der [mm] $|\pi^{-1}(x)|$ [/mm] konstant ist -- etwa eine, auf der [mm] $\pi^{-1}(U)$ [/mm] homöomorph zu $U [mm] \times \pi^{-1}(x)$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Joan2 |
Ah, okay.
Vielen Dank für die Antworten. Das ist mir jetzt ein wenig klarer geworden.
Grüße
Joan
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