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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 So 10.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
| Aufgabe 1 | Eine Münze wird fünf mal geworfen, wobei mit – unbekannter – Wahrscheinlichkeit
p 2 [0, 1] Kopf fällt. Es sei k die Anzahl der Würfe, bei denen Kopf fällt. Geben Sie für
jedes k mit 0 ≤ k≤ 5 eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den wahren Parameter
p0 2 [0, 1] an. |
| Aufgabe 2 | Für θ 2 R sei Pθ die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Dichte fθ, gegeben durch
f(x) = 1 für θ − 0.5 < x < θ + 0.5, fθ(x) = 0 sonst.
Geben Sie eine Testfunktion zum Niveau = 0.05 an, durch den die Hypothese θ0 = 0
getestet werden soll |
Hallo ihr Lieben,
kann mir vielleicht beim lösen dieser 2 Aufgaben helfen??Ich bin damit total überfordert :( und weiß gar nicht,wie ich anfangen soll...
Vielen Dank schonmal.
LG Pamina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Mi 13.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
hallo,vielen dank :) ich bin aber immernoch sehr an Hilfe interessiert :)
Liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mi 13.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin pamina20,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
2 Anmerkungen:
1) Du solltest einmal ueberpruefen, wie deine Aufgaben letztendlich im Forum erscheinen. *Ich* zumindest habe Schwierigkeiten, die Aufgabenstellung zu entziffern.
2) Es ist nicht guenstig, 2 unterschiedliche Fragen im selben Thread zu stellen. Das erleichtert zwar dir die Arbeit, kann aber in der Beantwortung zu einem schwer entwirrbaren Kuddelmuddel fuehren.
vg Luis
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> Eine Münze wird fünf mal geworfen, wobei mit –
> unbekannter – Wahrscheinlichkeit
> p 2 [0, 1] Kopf fällt. Es sei k die Anzahl der Würfe,
> bei denen Kopf fällt. Geben Sie für
> jedes k mit 0 ≤ k≤ 5 eine
> Maximum-Likelihood-Schätzung für den wahren Parameter
> p0 2 [0, 1] an.
Hallo Pamina,
dass dir noch niemand geantwortet hat, kann auch daran
liegen, dass wohl viele jetzt in den Ferien oder im Schwimm-
bad sind.
Sollte an der Stelle der "2" in der Aufgabe 1 nicht eher
das Element-Symbol [mm] "\in" [/mm] stehen ?
Die Maximum-Likelihood-Methode wird ![[]](/images/popup.gif) da erläutert.
Für dein Beispiel kommt dabei etwas sehr einfaches
heraus, und man fragt sich dann fast, was die hochge-
stochene Bezeichnung der Methode eigentlich soll ...
Die "Münze", die im Beispiel vorkommt, kann man sich
aber nur sehr schwer als eine echte Münze vorstellen,
die man tatsächlich werfen kann. Im Computer ist es
allerdings unter Zuhilfenahme von Zufallszahlen leicht,
so eine "Münze" zu simulieren, die zum Beispiel bei
jedem Wurf mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_0=1/7 [/mm] Kopf (nnd
also mit [mm] q_0=1-p_0=6/7) [/mm] Zahl zeigt.
In der Aufgabe ist allerdings diese Wahrscheinlichkeit [mm] p_0
[/mm]
der "Münze" nicht gegeben, sondern gesucht.
Betrachten wir einmal den Fall, wo die Wurfserie das
Ergebnis ZKZKK ergibt, also dreimal Kopf und zweimal
Zahl. Nun ist jene Zahl [mm] p_0\in[0..1] [/mm] gesucht, für welche
das Resultat "genau 3 Mal Kopf" am ehesten, also mit
größter Wahrscheinlichkeit entsteht - wenn man zunächst
beliebige p-Werte zur Konkurrenz zulässt.
Stelle also zunächst einmal die bedingte Wahrscheinlich-
keit
P(genau 3 Mal Kopf in 5 Würfen | P("Kopf")=p)
als Funktion von p dar !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mi 13.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
Danke für deine Antwort!
muss ich dafür diese Formel nehmen:
P(X/p)=phochx * (1-p)hoch(1-x) ???
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung davon!
LG
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> Danke für deine Antwort!
> muss ich dafür diese Formel nehmen:
>
> $\ [mm] P(X/p)=p^x [/mm] * [mm] (1-p)^{1-x}$ [/mm] ???
>
> Ich habe leider überhaupt keine Ahnung davon!
>
> LG
Hallo pamina,
die Formel (für die Binomialverteilung) sieht etwas anders aus:
$\ [mm] P\left(\mbox{genau k Treffer in n Versuchen}\ |\ P(\mbox{Treffer}\,)=p\,\right)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}$
[/mm]
LG
Al-chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 13.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
Oh ok.
Danke!
Wäre die erste aufgabe dann schon beantwortet, wenn ich das für jedes k mache?
Ausrechnen kann man ja eigentlich nichts, ich kenne ja die wahrscheinlichkeit nicht, oder?
LG
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> Oh ok.
> Danke!
> Wäre die erste aufgabe dann schon beantwortet, wenn ich
> das für jedes k mache?
Nein.
> Ausrechnen kann man ja eigentlich nichts, ich kenne ja die
> wahrscheinlichkeit nicht, oder?
>
> LG
Doch, es gibt etwas zu rechnen. Betrachte k [mm] (k\in\{0,1,2,3,4,5\})
[/mm]
(nebst n=5) als gegeben und bestimme dann den Wert von p, für
den die vorher betrachtete Wahrscheinlichkeit
$ \ [mm] P\left(\mbox{genau k Treffer in n Versuchen}\ |\ P(\mbox{Treffer}\,)=p\,\right)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{n\\k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k} [/mm] $
maximal wird.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 13.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
Ok.
Also habe dazu zwei Formeln gefunden, aber welche nehme ich jetzt? Bzw. ist davon überhaupt eine richtig
1. p = k/(n+1)
2. p= k/n
Danke für deine Gedult!!!
LG
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> Ok.
> Also habe dazu zwei Formeln gefunden,
was meinst du denn mit "gefunden" ?
> aber welche nehme
> ich jetzt? Bzw. ist davon überhaupt eine richtig
> 1. p = k/(n+1)
>
> 2. p = k/n
Eine davon ist richtig, aber wie bist du denn auf
zwei Varianten gekommen ?
Zeige doch deine Herleitung.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 13.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
ich habe sie nicht selber hergeleitet. Habe die im i-net gefunden. Könnte die Herleitung,die ich gefunden habe jetzt kopieren und sie hier einfügen, aber das wäre auch nicht richtig, also versuche ich es mal mit der Wahrheit :)
Das problem ist, dass ich bis morgen eine der Aufgaben lösen muss, sonst werde ich nicht zu klausur zugelassen. und ich habe leider überhaupt keine ahnung von dem thema....
Es wäre also super lieb, wenn du mir sagen könntest welche Formel ich nehmen muss.
LG
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> ich habe sie nicht selber hergeleitet. Habe die im i-net
> gefunden. Könnte die Herleitung,die ich gefunden habe
> jetzt kopieren und sie hier einfügen, aber das wäre auch
> nicht richtig, also versuche ich es mal mit der Wahrheit
> :)
> Das problem ist, dass ich bis morgen eine der Aufgaben
> lösen muss, sonst werde ich nicht zu klausur zugelassen.
> und ich habe leider überhaupt keine ahnung von dem
> thema....
> Es wäre also super lieb, wenn du mir sagen könntest
> welche Formel ich nehmen muss.
>
> LG
Hallo pamina,
leider habe ich deine Frage erst jetzt entdeckt.
Die Lösung [mm] p_0=\frac{k}{n} [/mm] ist die richtige. Die Herleitung
geht so:
Bei gegebenen (konstanten) Werten von n und k soll die
Wahrscheinlichkeit
$\ P(p)\ =\ [mm] \pmat{n\\k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k} [/mm] $
maximal werden. Mit anderen Worten haben wir eine
Extremwertaufgabe. Lösen kann man sie mittels
Differentialrechnung. Das heißt, man berechnet erst
einmal die Ableitung P'(p) mittels der Ableitungsregeln.
Man braucht die Produktregel, die Potenzregel und
die Kettenregel.
Dann schaut man, für welchen Wert (oder welche
Werte) von p die Gleichung P'(p)=0 erfüllt ist.
Für den gefundenen Wert (oder die gefundenen Werte)
von p muss man dann prüfen, ob da wirklich ein
Maximum von P(p) erreicht wird.
Es gibt eine einzige Lösung, die wirklich ein Maximum
liefert, nämlich [mm] p_0=\frac{k}{n} [/mm] .
Das Ergebnis ist genau das, was man naiverweise
erwarten würde, nämlich zum Beispiel: Wenn die
"Münze" in 5 Würfen genau 3 mal Kopf zeigt, so ist
die Vermutung [mm] p=\frac{3}{5}=0.6 [/mm] die bestmögliche
(falls p vorher wirklich absolut unbekannt war und man
insbesondere weiß, dass es nicht eine "gewöhnliche"
Münze mit [mm] P(Kopf)=P(Zahl)=\frac{1}{2} [/mm] sein muss.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Do 14.07.2011 | | Autor: | pamina20 |
Dankeschön! Das hat mir wirklich sehr geholfen!!
LG
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> Bei gegebenen (konstanten) Werten von n und k soll die
> Wahrscheinlichkeit
>
> [mm]\ P(p)\ =\ \pmat{n\\k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k}[/mm]
>
> maximal werden. Mit anderen Worten haben wir eine
> Extremwertaufgabe. Lösen kann man sie mittels
> Differentialrechnung. Das heißt, man berechnet erst
> einmal die Ableitung P'(p) mittels der Ableitungsregeln.
> Man braucht die Produktregel, die Potenzregel und
> die Kettenregel.
> Dann schaut man, für welchen Wert (oder welche
> Werte) von p die Gleichung P'(p)=0 erfüllt ist.
> Für den gefundenen Wert (oder die gefundenen Werte)
> von p muss man dann prüfen, ob da wirklich ein
> Maximum von P(p) erreicht wird.
> Es gibt eine einzige Lösung, die wirklich ein Maximum
> liefert, nämlich [mm]p_0=\frac{k}{n}[/mm] .
> Das Ergebnis ist genau das, was man naiverweise
> erwarten würde, nämlich zum Beispiel: Wenn die
> "Münze" in 5 Würfen genau 3 mal Kopf zeigt, so ist
> die Vermutung [mm]p=\frac{3}{5}=0.6[/mm] die bestmögliche
> (falls p vorher wirklich absolut unbekannt war und man
> insbesondere weiß, dass es nicht eine "gewöhnliche"
> Münze mit [mm]P(Kopf)=P(Zahl)=\frac{1}{2}[/mm] sein muss).
Bemerkung
Der Ausdruck der "bestmöglichen Schätzung" muss mit
etwas Vorsicht genossen werden. Er bezieht sich wirklich
nur exakt auf die vorliegende Fragestellung mit der
"Maximum-Likelihood-Methode".
Wirklich realistisch ist es natürlich kaum, aufgrund eines
so kleinen Experiments (3 mal Kopf in 5 Würfen) etwa
auf [mm] p=\frac{3}{5} [/mm] zu schließen. Wären es beispielsweise 30 mal
Kopf in 50 Würfen, so sähe dies schon ganz anders aus.
Sinnvoller scheint es aber jedenfalls, als Schätzung für
die unbekannte Wahrscheinlichkeit einen Zahlenwert
und dazu ein gewisses Konfidenzintervall anzugeben.
Beim Versuch mit nur 5 Würfen müsste dieses viel
breiter sein als bei 50 Würfen.
Noch etwas problemgerechter ist es, für die unbekannte
Wahrscheinlichkeit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
anzugeben. Aus dieser kann man dann, falls gewünscht,
auch Intervalle ableiten ("Konfidenzintervall" oder
"Kredibilitätsbereich", was sprachlich eigentlich dasselbe
bedeutet ...).
Berechnet man im Beispiel "3 mal Kopf in 5 Würfen" im
Sinne der Bayes-Statistik ausgehend von einer gleichver-
teilten "Prior"-Wahrscheinlichkeit die "Posterior"-
Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
$\ f(p)\ =\ [mm] 60\,p^3*(1-p)^2$ [/mm] ,
so hat diese zwar ihr Maximum ebenfalls an der Stelle [mm] \frac{3}{5}=0.6 [/mm] ,
aber ihren Erwartungswert bei [mm] \frac{4}{7}\approx [/mm] 0.57 .
Für "30 mal Kopf in 50 Würfen" ist dieser Erwartungs-
wert gleich [mm] \frac{31}{52}\approx0.596 [/mm] .
LG Al-Chw.
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