Binomischer Satz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Soonic |
| Aufgabe | | A= [mm] \bruch{ \vektor{n \\ 3}(3n+3)!}{ \vektor{n+1 \\ 3}(3n+1)!} [/mm] |
Wie darf ich das n über 3 und das n+1 über 3 verstehen?
Ich wüsste nicht, wie ich anfangen soll. Habe es versucht, das Schema des Binomisches Satzes anzuwenden. (n über k) = (n !) / [(n-k)!*k!].
Aber ich komme nicht auf die Lösung.
Wäre nett, wenn einer mir den Sinn erklären könnte.
Danke im Vorraus, liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
> A= [mm]\bruch{ \vektor{n \\ 3}(3n+3)!}{ \vektor{n+1 \\ 3}(3n+1)!}[/mm]
>
> Wie darf ich das n über 3 und das n+1 über 3 verstehen?
>
> Ich wüsste nicht, wie ich anfangen soll. Habe es versucht,
> das Schema des Binomisches Satzes anzuwenden. (n über k) =
> (n !) / [(n-k)!*k!].
Das ist nicht der Binomische Satz, sondern die Definition von Binomialkoeffizient 
Ich verstehe deine Frage nicht ganz, moechtest du eine Interpretation des Ausdrucks, oder weisst du nicht wie du das weiter vereinfachen kannst wenn du die Definition (das was du als Binomischen Satz bezeichnet hast) eingesetzt hast (also wie du die Fakultaeten loswirst)?
(Falls dir das was hilft: [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ist die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Soonic |
Ja, erstens habe ich das Prinzip von den Binomealkoeffizeinten nicht richtig verstanden? Was sagen diese aus? Und des weiteren bin ich dan auch interessiert, wie man die Fakultät los wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ja, erstens habe ich das Prinzip von den
> Binomealkoeffizeinten nicht richtig verstanden? Was sagen
> diese aus?
Nun, einmal gibt es ja die Interpretation die ich schon genannt habe: [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ist die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge. Das ist wohl mit Abstand die wichtigste.
Dann kommen die Binomialkoeffizienten noch im Binomischen Lehrsatz vor: Es ist $(x + [mm] y)^n [/mm] = [mm] \binom{n}{0} x^n [/mm] + [mm] \binom{n}{1} x^{n-1} [/mm] y + [mm] \binom{n}{2} x^{n-2} y^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \binom{n}{n-1} [/mm] x [mm] y^{n-1} [/mm] + [mm] \binom{n}{n} y^n$. [/mm] Und wenn du das Pascalsche Dreieck hinschreibst sind die Eintraege dort auch gerade die Binomialkoeffizienten: In der $n$-ten Zeile (von oben) und $k$-ten Spalte (von links) (Nummerierung beginng jeweils bei 0) steht gerade [mm] $\binom{n}{k}$.
[/mm]
Das sind so die zwei wichtigsten Interpretationen die mir einfallen; schau doch auch mal bei der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia nach.
> Und des weiteren bin ich dan auch interessiert, wie man die Fakultät los wird?
Wenn du $n!$ und $k!$ hast mit $n > k$, dann ist [mm] $\frac{n!}{k!} [/mm] = n (n-1) (n-2) ... (k+2) (k+1) k$. Also ist etwa [mm] $\frac{(3n+3)!}{(3n+1)!} [/mm] = (3n+3) (3n+2)$. So, und wenn du nun den Ausdruck $A$ nimmst, die Definition der Binomialkoeffizienten einsetzt und alles auf einen Bruchstrich bringst, dann kannst du mit dieser 'Kuerzungsregel' da einiges wegkuerzen. Und wenn du noch $(3n+3) = 3 (n+1)$ benutzt bleiben da im Nenner und Zaehler jeweils nur ein 'Linearfaktor' (sowas wie [mm] $\lambda [/mm] n + [mm] \mu$ [/mm] mit [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] ganzen Zahlen) ueber.
HTH & LG, Felix
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