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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 26.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal glaube ich eine Aufgabe gelöst zu haben - könnte sie bitte jemand kontrollieren?
Man beweise mithilfe des Binomischen Lehrsatzes: Für jede reelle Zahl [mm] x\ge [/mm] 0 und jede natürliche Zahl [mm] n\ge [/mm] 2 gilt
[mm] (1+x)^n\ge\bruch{n^2}{4}x^2
[/mm]
So, ich habe das nun so gemacht:
nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
[mm] (1+x)^n=\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}1^{n-k}x^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}x^k [/mm] = [mm] \vektor{n\\0}x^0 [/mm] + [mm] \vektor{n\\1}x^1+\vektor{n\\2}x^2+...+\vektor{n\\n-1}x^{n-1}+\vektor{n\\n}x^n [/mm] = [mm] 1+nx+\vektor{n\\2}x^2+...+nx^{n-1}+x^n
[/mm]
So, nun gilt aber [mm] \vektor{n\\2}\ge\bruch{n^2}{4} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2, denn:
Induktion nach n:
IA: n=2
[mm] \vektor{2\\2}=1\ge1=\bruch{2^2}{4}
[/mm]
IS: [mm] n\to [/mm] n+1
[mm] \vektor{n+1\\2}=\vektor{n\\2}+\vektor{n\\1} \underbrace{\ge}_{nach IV} \bruch{n^2}{4}+n [/mm] = [mm] \bruch{n^2+4n}{4} \ge \bruch{n^2+2n+1}{4} [/mm] da [mm] n\ge [/mm] 2 = [mm] \bruch{(n+1)^2}{4}
[/mm]
Ich hoffe, das stimmt so? Oder habe ich irgendwo etwas falsch gemacht?
Falls man es noch anders beweisen kann, kann mir das bitte jemand sagen und einen Tipp geben, wie?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Di 26.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm](1+x)^n=\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}1^{n-k}x^k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}x^k[/mm] = [mm]\vektor{n\\0}x^0[/mm] +
> [mm]\vektor{n\\1}x^1+\vektor{n\\2}x^2+...+\vektor{n\\n-1}x^{n-1}+\vektor{n\\n}x^n[/mm]
> = [mm]1+nx+\vektor{n\\2}x^2+...+nx^{n-1}+x^n[/mm]
Also, da [m]x\ge 0[/m], folgt die Behauptung, wenn du untere Gleichung zeigst.
> So, nun gilt aber [mm]\vektor{n\\2}\ge\bruch{n^2}{4}[/mm] für [mm]n\ge[/mm]
> 2, denn:
Ist da nicht Induktion zuviel? [m]\vektor{n\\2}=\bruch{n*(n-1)}{2}[/m], also reicht es auch [m]2*(n-1)\ge n[/m] aufzulösen - und das ergibt [m]n\ge 2[/m].
> IA: n=2
> [mm]\vektor{2\\2}=1\ge1=\bruch{2^2}{4}[/mm]
Ja.
> IS: [mm]n\to[/mm] n+1
> [mm]\vektor{n+1\\2}=\vektor{n\\2}+\vektor{n\\1} \underbrace{\ge}_{nach IV} \bruch{n^2}{4}+n[/mm]
> = [mm]\bruch{n^2+4n}{4} \ge \bruch{n^2+2n+1}{4}[/mm] da [mm]n\ge[/mm] 2 =
> [mm]\bruch{(n+1)^2}{4}[/mm]
Wenn man das "da ... 2" richtig trennt: ja.
> Falls man es noch anders beweisen kann, kann mir das bitte
> jemand sagen und einen Tipp geben, wie?
Siehe oben. Die Ungleichung ist viel einfacher zu beweisen, als du vielleicht geglaubt hast.
SEcki
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Ich hätte es mir einfacher machen können. 
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
