Binomischer Lehrsatz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] 1+\vektor{n\\1} [/mm] x + [mm] \vektor{n\\2}x^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n\\n-1} x^{n-1} +x^n [/mm] |
Hallo zusammen,
als Hausaufgabe für die Uni soll ich den Binomischen Lehrsatz beweisen, im Internet ist er jedesmal mit der Summenformel aufgeführt, bzw mein Fall ist nicht dabei.
Mein Ansatz wäre:
[mm] (1+x)^1 [/mm] = 1+ x = 1 + [mm] \vektor{1\\1} [/mm] = 1 +x
das wäre doch die Induktionsvorausetzung?
wie muss ich weiter vorgehen?
Hat jemand eine Idee, wie ich hier vorzugehen habe??
Liebe Grüße Christina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Sa 24.10.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin chrisieben,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Setze die Induktionsvoraussetzung
$ [mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] 1+\vektor{n\\1} [/mm] x + [mm] \vektor{n\\2}x^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n\\n-1} x^{n-1} +x^n [/mm] $.
Schliesse daraus:
$ [mm] (1+x)^{n+1} [/mm] = [mm] 1+\vektor{n+1\\1} [/mm] x + [mm] \vektor{n+1\\2}x^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n+1\\n} x^{n} +x^{n+1} [/mm] $.
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muss ich das dann jeweils als Summenzeichen schreiben?
also die Induktionsvoraussetzung als summenzeichen und ausrechnen und dann mit n+1 das ganze Spiel nochmal ???
blick da leider gar nicht durch bei dem Beweis und weis auch leider nicht wie ich die Reihe als Summe schreibe ;(
> Moin chrisieben,
>
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>
> Setze die Induktionsvoraussetzung
>
> [mm](1+x)^n = 1+\vektor{n\\1} x + \vektor{n\\2}x^2 + ... + \vektor{n\\n-1} x^{n-1} +x^n [/mm].
>
> Schliesse daraus:
>
> [mm](1+x)^{n+1} = 1+\vektor{n+1\\1} x + \vektor{n+1\\2}x^2 + ... + \vektor{n+1\\n} x^{n} +x^{n+1} [/mm].
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 26.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo chrisieben!
Aus deinem Eingangspost entnehme ich, dass
[mm] $(1+x)^n =1+\vektor{n\\1}x+\vektor{n\\2}x^2+\ldots+\vektor{n\\n-1}x^{n-1} +x^n$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
zu zeigen ist.
(Übrigens gilt die Aussage auch für $n=0$.)
> muss ich das dann jeweils als Summenzeichen schreiben?
Habt ihr das Summenzeichen überhaupt definiert?
(Ich gehe im Folgenden nicht davon aus.)
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] gelte
[mm] $(1+x)^n=1+\vektor{n\\1}x+\vektor{n\\2}x^2+\ldots+\vektor{n\\n-1}x^{n-1} +x^n$.
[/mm]
Induktionsschritt:
Zu zeigen:
[mm] $(1+x)^{n+1}=1+\vektor{n+1\\1}x+\vektor{n+1\\2}x^2+\ldots+\vektor{n+1\\n}x^{n} +x^{n+1}$.
[/mm]
Beweis:
Nach den Potenzgesetzen gilt
[mm] $(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}*(1+x)$.
[/mm]
Mit der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
[mm] $(1+x)^{n}*(1+x)=\left(1+\vektor{n\\1}x+\vektor{n\\2}x^2+\ldots+\vektor{n\\n-1}x^{n-1} +x^n\right)*\left(1+x\right)$.
[/mm]
Kannst du das nun weiterführen?
Tipp: Es gilt
[mm] $\vektor{n\\k-1}+\vektor{n\\k}=\vektor{n+1\\k}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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