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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Fei |
| Aufgabe | Die Taylorreihe der Funktino f(x) = [mm] (1+x)^\alpha, \alpha [/mm] aus [mm] \IR [/mm] ist
g(x) = T[f,0](x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} x^n
[/mm]
und hat einen Konvergenzradius R>=1
Zeigen Sie, dass f(x) = g(x) für |x|<1 gilt.
Zeigen Sie zunächst, dass [mm] \bruch{g'(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{1+x} [/mm] und integrieren Sie dann die Gleichung. |
Hallo Leute,
Ich bräuchte Hilfe bei dieser Frage, bitte über diesen Weg.
Wenn die oben gegebene Gleichung gilt, dann braucht man ja nur noch zu integrieren und man hat die Lösung. Aber wie kommt man überhaupt auf die Gleichung? Ich habe folgendes ausprobiert:
[mm] \bruch{g'(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{1+x}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^{n-1} [/mm] (1+x) = [mm] \alpha \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} x^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^{n-1} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \alpha \vektor{ \alpha \\ n} x^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\alpha-n) \vektor{ \alpha \\ n} x^n
[/mm]
Nun bin ich am Ende meiner Weißheit, das kann doch nicht richtig sein, da fehlt doch ein x?!?!
Freue mich auf jede Hilfe, danke
Fei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Fei!
> Die Taylorreihe der Funktino f(x) = [mm](1+x)^\alpha, \alpha[/mm]
> aus [mm]\IR[/mm] ist
> g(x) = T[f,0](x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} x^n[/mm]
>
> und hat einen Konvergenzradius R>=1
>
> Zeigen Sie, dass f(x) = g(x) für |x|<1 gilt.
>
> Zeigen Sie zunächst, dass [mm]\bruch{g'(x)}{g(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\alpha}{1+x}[/mm] und integrieren Sie dann die
> Gleichung.
> Hallo Leute,
>
> Ich bräuchte Hilfe bei dieser Frage, bitte über diesen
> Weg.
> Wenn die oben gegebene Gleichung gilt, dann braucht man ja
> nur noch zu integrieren und man hat die Lösung. Aber wie
> kommt man überhaupt auf die Gleichung? Ich habe folgendes
> ausprobiert:
>
> [mm]\bruch{g'(x)}{g(x)}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{1+x}[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^{n-1}[/mm]
> (1+x) = [mm]\alpha \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} x^n[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^{n-1}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \alpha \vektor{ \alpha \\ n} x^n[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} nx^{n-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\alpha-n) \vektor{ \alpha \\ n} x^n[/mm]
Da fehlen ganz viele Aequivalenzzeichen!
Mach doch mal ne Indexverschiebung auf der linken Seite: [mm] $\sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} [/mm] n [mm] x^{n-1} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \binom{\alpha}{n} [/mm] n [mm] x^{n-1} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^\infty \binom{\alpha}{m + 1} [/mm] (m + 1) [mm] x^m$, [/mm] wobei $m = n - 1$ ist.
So. Jetzt hast du also [mm] $\sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n + 1} [/mm] (n + 1) [mm] x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} (\alpha [/mm] - n) [mm] x^n$. [/mm] Nach dem Identitaetssatz fuer Potenzreihen ist das aequivalent zu [mm] $\binom{\alpha}{n + 1} [/mm] (n + 1) = [mm] \binom{\alpha}{n} (\alpha [/mm] - n)$ fuer alle $n [mm] \ge [/mm] 0$. Jetzt setz doch mal die Definition von [mm] $\binom{\alpha}{n}$ [/mm] ein und pruefe das nach!
LG Felix
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