Binominalverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Do 27.04.2006 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | Ein Laplace-Tetraeder mit den Seitenbeschriftungen 1,2,3,4 werde 20-mal geworfen.
Zufallsgröße X: zufällige Anzahl der geworfenen Dreien bei 20 Würfen
Berechnen Sie EX, D²X und DX! |
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
Hi @ all !
wir haben von unserem Lehrer diese aufgabe bekommen, weil wir nächste woche mit binominalverteilung anfangen.. uns wurde gesagt das wir uns diese aufgaben mal ansehen sollen...
Ich will eigentlich nicht unbedingt ein baumdiagramm zeichnen.. deswegen meine frage : Wie komme ich auf EX ?
also es gibt ja die formel : E(X)= [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] * [mm] p_{i}
[/mm]
ich weiß aber nicht so richtig wie ich mit der formel umgehen soll, weil ich dieses summenzeichen auch noch nicht kenne...
die gesamtzahl der ereignisse sind [mm] 2^{20} [/mm] ( drei oder keine drei)
die wahrscheinlichkeit eine drei zu werfen ist 1/4 ...die gegenwahrscheinlichkeit 3/4 ..
ich denke ich bekomm die aufgabe nicht raus, weil ich nicht weiß wie ich mit dem summenzeichen umgehen soll..
wär nett wenn mir das jemand bei dieser aufgabe mal zeigen könnte..
danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Do 27.04.2006 | | Autor: | Eddy |
[mm]
E(x) = \summe_{i=1}^{n} {x_{i} \* p_{i}}
= x_{1} \* p_{1} + x_{2} \* p_{2} + ... + x_{n} \* p_{n}
= P(X=1) * x_{1} + P(X=2) * x_{2} + ... + P(X=n) * x_{n}
[/mm]
Mit anderen Worten:
Den Term, der hinter dem E-Zeichen steht, denkst du dir als Schablone, die du n Mal aufschreibst. Da das E-Zeichen das Summenzeichen ist, muss jede dieser Schablonen addiert werden. Es gibt z.B. das gleiche mit einem großen PI Zeichen, wo du nicht addieren, sondern multiplizieren musst. Die Variable i erhöht sich nach jeder Schablone iterativ und hat den Startwert i=1 und hört bei n auf.
Oft ist der Erwartungswert interessant bei Wettspielen mit Einsätzen.
Z.B.:
Aufgabe:
Drei Würfel werden in einen Behälter getan und geworfen.
Man setzt mit einem Einsatz von 5 auf eine beliebige Zahl.
Je nach Anzalh der Würfel, die die Zahl zeigen, auf die man gewettet hat, wird der Gewinn einfach, zweifach oder dreifach ausgeschüttet.
Den Einsatz erhält man auch wieder.
Wie ist der Erwartungswert?
Antwort:
X sei die stochastische Zufallsvariable, die die Anzahl beschreibt wie oft die gewettete Zahl zu sehen ist und ist binomialverteilt mit n=3 und p=1/6.
Der Erwartungswert setzt sich aus allen möglichen Wahrscheinlichkeiten zusammen. Diese sind:
[mm]
P(X=0) = {1/6}^0 \* {5/6}^3 = 125/216
P(X=1) = {1/6}^1 \* {5/6}^2 = 25/216
P(X=2) = {1/6}^2 \* {5/6}^1 = 5/216
P(X=3) = {1/6}^3 \* {5/6}^0 = 1/216
[/mm]
Jeder Wahrscheinlichkeit ist eine meßbare Gewichtung in Form der Ausschüttung zugeordnet. Der Erwartungswert setzt sich aus diesen "Gewichtungen" zusammen, welche da wären:
[mm]
e_{0} = -5
e_{1} = 10
e_{2} = 15
e_{3} = 20
[/mm]
Die zu erwartende Durchschnittsausschüttung, welche sich bei Stichproben mit hohem Umfang herauskristallisiert (das bedeutet, dass man sich dem Wert annähert, je öfter man den Versuch wiederholt), beträgt:
[mm]
E(X) = P(X=0) * e_{0} + P(X=1) * e_{1} + P(X=2) * e_{2} + P(X=3) * e_{3}
= 125/216 \* (-5) + 25/216 * 10 + 5/216 * 15 + 1/216 * 20
= -1 8/27 \approx -1,3
[/mm]
Schlussfolgerung: Ein Casino, dass dieses Spiel anbietet, würde auf Dauer erwarten, dass die Spieler im Durchschnitt 1,3 verlieren. Somit ist das Spiel rentabel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Do 27.04.2006 | | Autor: | Eddy |
Was mich jedoch wundert ist, dass i mit 1 startet.
Gibt es nicht auch die Möglichkeit, dass die gewünschte Seite überhaupt nicht gewürfelt wird?
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