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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 18.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
| Aufgabe 1 | Eine Münze wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
A: Es tritt zweimal Zahl auf.
B: Es tritt nur Wappen auf.
C: Es tritt höchstens einmal Zahl auf.
D: Es tritt mindestens einmal Zahl auf. |
| Aufgabe 2 | | Wie oft muss man eine Münze werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% (oder mehr) mindestens einmal "Wappen" zu erhalten? |
Wie berechnet man diese Aufgaben mit Gebrauch der Regel?
Ich bitte darum, es sehr verständlich zu erklären, da ich mit diesem Thema extreme Schwierigkeiten habe.
Bitte bitte helft mir.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:27 So 19.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hi dodo,
Zu 1)
am besten malst Du Dir erstmal das Baumdiagramm für 5 Würfe auf. Also fünf "Ebenen" mit jeweils zwei Ästen, von denen jeder die Wahrscheinlichkeit 1/2 hat.
Dann kannst Du sicher leicht sehen, das jeder einzelne dieser Zweige (z.B. für b) WWWWW) die Wahrscheinlichkeit ${1 [mm] \over [/mm] 2} *{1 [mm] \over [/mm] 2} *{1 [mm] \over [/mm] 2} *{1 [mm] \over [/mm] 2} *{1 [mm] \over [/mm] 2} * = [mm] \left({1 \over 2}\right)^5$ [/mm] hat.
Für a) kannst Du dann durchzählen, wieviele Zweige die Bedingung "zwei mal Zahl" erfüllen und deren einzelne Wahrscheinlichkeiten addieren.
Statt durchzuzählen könntest Du auch die passende Formel anwenden, und direkt berechnen, wieviele Möglichkeiten es gibt, zwei mal Zahl unter insg. fünf Würfen anzuordnen.
Entsprechend - am einfachsten wohl mit Durchzählen am Baum - gehen dann c) und d)
Zu 2)
"Mindestens ein mal W" ist das Gegenereignist zu "nur Z". Gefragt ist also, wie oft muss man Münze werfen, damit die Wahrscheinlichkeit für "nur Z" kleiner als [mm] $1\% [/mm] = 0,01$ wird.
Wie oben bei WWWWW wird für jeden Wurf einmal mehr mit ${1 [mm] \over [/mm] 2}$ multipliziert. Also ist die Frage, wie oft muss man ${1 [mm] \over [/mm] 2}$ mit sich selbst multiplizieren, damit das Ergebnis kleiner als 0,01 wird:
[mm] $\left({1 \over 2}\right) [/mm] ^x< 0,01$
Soviel erstmal,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 So 19.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
ersteinmal vielen Dank. Ich werde es so probieren. Wenn ich dann immernoch nicht weiter komme, stelle ich eine neue Frage.
Danke nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 20.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
| Aufgabe | Eine Münze wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
D: Es tritt mindestens einmal Zahl auf. |
ich brauche diese Aufgabe mit "Gebrauch der Formel". Schreib morgen eine Arbeit darüber und weiß noch nicht richtig, wie ich sie anwenden soll??? Bitte bitte helft mir... Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo dodo,
> ich brauche diese Aufgabe mit "Gebrauch der Formel".
mit Gebrauch welcher Formel? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Die Wahrscheinlichkeit von D rechnest du am besten über das Gegenereignis aus:
[mm] $P(D)=1-P(D^C)=1-P(\mbox{Es tritt keinmal Zahl auf.})$
[/mm]
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Mo 20.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
die formel lautet:
b(n;p;k)= P(X=k)= (n über k) p hoch k (1-p) hoch n-k
erstmal vielen Dank, vielleicht kannst du damit was anfangen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo dodo,
das ist die Binomialverteilung. Für Experimente, die zwei mögliche Ausgänge (z.B. 0 und 1) haben und mehrfach durchgeführt werden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau k-mal das Ergebnis 1 auftritt $(P(X=k))$ eben gleich
Anzahl der Möglichkeiten, dass "1" k-mal auftritt ([mm]n \choose k[/mm])
"multipliziert mit" Wahrscheinlichkeit, dass bei genau k Würfen "1" auftritt [mm] (p^k)
[/mm]
"multipliziert mit" Wahrscheinlichkeit, dass bei genau n-k (also den restlichen) Würfen "0" auftritt [mm] ((1-p)^{n-k})
[/mm]
Wobei p die Wahrscheinlichkeit ist, dass "1" bei einem einzelnen Wurf auftritt und deshalb 1-p die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem einzelnen Wurf "0" auftritt.
Formal:
[mm]P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
In deinem Beispiel:
5 Münzwürfe ($n=5$)
Ereignis B: Zweimal Zahl ($X=2$)
Da Zahl ( [mm] $\hat=1$) [/mm] und Kopf ( [mm] $\hat=0$) [/mm] jeweils mit Wahrscheinlichkeit $0,5$ auftreten, und es genau ${5 [mm] \choose [/mm] 2}=10$ Möglichkeiten gibt, dass zweimal Zahl auftritt (also 10 Pfade im Baumdiagramm), gilt:
[mm]P(A)=P(X=2)={5 \choose 2}0,5^2 \cdot 0,5^{5-2}[/mm]
Oder ein anderes Beispiel
Ereignis D: Mindestens einmal Zahl ($X [mm] \geq [/mm] 1$)
[mm]P(D)=P(X\geq 1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)[/mm]
oder viel einfacher:
[mm]P(D)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-{5 \choose 0} 0,5^0\cdot 0,5^5[/mm]
Klarer?
Viele Grüße nach Meck-Pomm! Da komm ich nämlich auch her! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mo 20.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
ich danke dir...
wenn ich noch eine frage habe, dann schreib ich nochmal, vielleicht bist du dann ja noch online...
nochmal vielen dank, hab es jetzt halbwegs verstanden und wenn ich es so jetzt selbst versuche, trichtert sich das bestimmt ein.
danke, du bist meine rettung...
liebe grüße, dodo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 20.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
| Aufgabe | | Ereignis D: Mindestens einmal Zahl [mm] (X\ge) [/mm] |
Warum muss ich dann 1-P(X<1)=1-P(X=0) rechnen?
Das verstehe ich nicht ganz... Kannst du nochmal helfen, bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo dodo,
> Ereignis D: Mindestens einmal Zahl [mm](X\geq 1)[/mm]
> Warum muss ich dann 1-P(X<1)=1-P(X=0) rechnen?
> Das verstehe ich nicht ganz... Kannst du nochmal helfen,
> bitte?
zunächst gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse (die sich gegenseitig ausschließen), ist gleich 1, also in deinem Fall:
[mm]P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1[/mm]
Also gilt: $P(X [mm] \geq [/mm] 1)=1-P(X=0)$
Es gibt nur eine Möglichkeit, dass "weniger als einmal Zahl" fällt, nämlich genau keinmal, d.h. [mm]X=0[/mm].
War das deine Frage?
Grüße,
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 20.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
ja danke, jetzt hab ich das verstanden, hab aber noch eine frage:
ich habe ein problem mit der formel:
P(X=k) = [mm] \vektor{n \\ k} p^{k} (1-p)^n-k
[/mm]
dieses (1-p): wie komme ich darauf?
im obigen beispiel war es 0.5, wie bist du darauf gekommen???
jetzt habe ich nämlich die aufgabe, dass ich ein glücksrad mit drei gleich großen sektoren mit den symbolen kreis kreuz und stern habe.
jetzt wird vier mal gedreht...
und meine frage ist jetzt genau, wie ich mit diesen hinweisen auf das (1-p) komme...
kannst du mir bitte nocheinmal helfen??? danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo dodo,
> ich habe ein problem mit der formel:
>
> P(X=k) = [mm]\vektor{n \\ k} p^{k} (1-p)^n-k[/mm]
>
> dieses (1-p): wie komme ich darauf?
>
> im obigen beispiel war es 0.5, wie bist du darauf
> gekommen???
Nun ja, wichtig war, dass es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Kopf oder Zahl. Wenn die Wahrscheinlichkeit für Zahl bei einem Wurf p=0,5 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei einem Wurf gleich [mm]1-p=1-0,5=0,5[/mm], denn die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten muss 1 sein.
>
> jetzt habe ich nämlich die aufgabe, dass ich ein glücksrad
> mit drei gleich großen sektoren mit den symbolen kreis
> kreuz und stern habe.
Hier hast du nicht nur zwei Ergebnisse, sondern drei. Du darfst die Formel also nicht anwenden.
Aber: Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Symbol ist ja jeweils [mm] $\bruch{1}{3}$, [/mm] da du drei gleich große Segmente hast.
Jetzt mußt du schauen, wieviele Möglichkeiten es jeweils für das gewünsche Ereignis gibt. (Also z.B. wieviele Möglichkeiten um z.B. genau einmal den Kreis zu bekommen. Das wären $4 [mm] \choose [/mm] 1$, da du beim ersten, zweiten, dritten oder vierten Mal Drehen das Symbol erhalten kannst.
Am besten ist aber bei solchen Aufgaben aber immer, du zeichnest dir ein Baumdiagramm, da kannst du alles ablesen!
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Astrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mo 20.02.2006 | | Autor: | dodo-87 |
vielen lieben dank
wünsch dir auch eine gute nacht...
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