Binominalk./vollst. Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 31.10.2005 | | Autor: | LenaFre |
Folgend Aufgabe mit der ich nicht weiter komme:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass:
[mm] \vektor{n \\ 0}+ \vektor{n \\ 2}+.....= \vektor{n \\ 1}+ \vektor{n \\ 3}+....
[/mm]
Das Prinzip der vollstandigen Induktion ist mir vollkommen klar. Was [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] bedeutet weiß ich auch. Ich komme nur an dem Punkt (Induktionschritt) nicht weiter. Ich nehme an, dass die Aussage für ein beliebiges [mm] n\in \IN [/mm] gilt und will es nun für n+1 zeigen. Wie ich das hier zeigen soll, da komme ich nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Folgend Aufgabe mit der ich nicht weiter komme:
> Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass:
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> [mm]\vektor{n \\ 0}+ \vektor{n \\ 2}+.....= \vektor{n \\ 1}+ \vektor{n \\ 3}+....[/mm]
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> Das Prinzip der vollstandigen Induktion ist mir vollkommen
> klar. Was [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] bedeutet weiß ich auch.
Hallo,
hier wird ja zunächst auf beiden Seiten bis in alle Ewigkeiten summiert.
Aber: irgendwann ändert sich nichts mehr, weil jeder neue Summand gleich 0 ist. Diese unendlichen Summen können also als endliche geschrieben werden.
Jetzt mach Dir klar, bis wo - bei gegebenem n - summiert wird.
Dazu mußt Du zwei Fälle unterscheiden, n gerade und n ungerade.
(Ich denke, daß Du die bei Deiner Induktion auch unterscheiden mußt.)
So. Ich glaube, wenn Dir erstmal klar geworden ist, WAS Du zeigen mußt, wird die Induktion dann das kleinere Problem sein.
Den Additionssatz für die Binimialkoeffizienten kennst Du auch? Den mußt Du bestimmt verwenden!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 31.10.2005 | | Autor: | LenaFre |
ja das habe ich mir auch schon überlegt, dass die Summe auf beiden Seiten ab einem bestimmten n endet, da dann die weiteren Summanden 0 sind. Dies geschieht sobald n<k. (bzw dann n+1<k)
Aber wie ich diese Summe dann als endlich aufschreiben soll, weiß ich noch nicht. Das man wohl zwischen geradem un ungeradem n unterscheiden sollte, habe ich schon vermutet, weil auf der einen Seite nur gerade k und auf der anderen seite nur ungerade k stehen.
Den Additionsatz für Binominalkoeffizienten kenne ich leider nicht.
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>...
> Den Additionsatz für Binominalkoeffizienten kenne ich
> leider nicht.
Fangen wir mit mit dem Additionssatz an: [mm] \vektor{a+1\\ k+1}=\vektor{a \\ k}+\vektor{a \\ k+1}. [/mm] Schau mal nach, ob Du den nicht doch irgendwo stehen hast (Vorlesung, übung) . Sonst mußt Du ihn beweisen, bevor Du ihn verwendest, kein Drama, aber wenn's nicht sein muß...
Der Induktionsanfang ist klar.
Schauen wir uns den Schluß an:
Zu zeigen ist [mm] \vektor{n+1 \\ 0}+\vektor{n+1 \\ 2}+\vektor{n+1 \\ 4}+...= \vektor{n+1 \\ 1}+\vektor{n+1 \\ 3}+\vektor{n+1 \\ 5}+...
[/mm]
1.Fall : n+1 gerade.
Es ist
[mm] \vektor{n+1 \\ 0}+\vektor{n+1 \\ 2}+\vektor{n+1 \\ 4}+...
[/mm]
[mm] =\vektor{n+1 \\ 0}+\vektor{n+1 \\ 2}+\vektor{n+1 \\ 4}+...\vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] (Begründen)
[mm] =1+(\vektor{n \\ 1}+\vektor{n \\ 2})+(\vektor{n \\ 3}+\vektor{n \\ 4})+...+(\vektor{n \\ n} [/mm] +0)
[mm] =(1+\vektor{n \\ 1})+(\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3})+...+(\vektor{n \\ n-1}+\vektor{n \\ n})
[/mm]
[mm] =\vektor{n+1 \\ 1}+\vektor{n+1 \\ 3}+...+\vektor{n+1 \\ n}
[/mm]
[mm] =\vektor{n+1 \\ 1}+\vektor{n+1 \\ 3}+..., [/mm] was zu zeigen war.
Und sehr ähnlich mit n+1 ungerade. Der Witz ist der Additionssatz.
Ich hoffe, Du verstehst alles und schaffst den Rest.
Gruß v. Angela
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:58 Mo 31.10.2005 | | Autor: | LenaFre |
Okay den Rechenweg habe ich verstanden und es ist mir auch gelungen den Additionssatz zu beweisen.
Ich frage mich aber noch warum genau ich eine Fallunterscheidung machen muss. Ist die Beweisführung für n+1 ungerade nicht identisch mit der Beweisführung für n+1 gerade? Ist es nicht mit der Beweisführung allgemein gezeigt ,egal ob n+1 gerade oder ungerade ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 31.10.2005 | | Autor: | LenaFre |
Ich habe es jetzt. Du hast recht mit der Fallunterscheidung. Je nachdem ob ich ein gerades oder ungerades n+1 habe sieht das letzte Glied in der Summe unterschiedlich aus.
Vielen dank für deine Hilfe!
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