Binomialverteilung für Summe < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Lupi99 |
| Aufgabe | | Zeige dass die Summe von N unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X [mm] \sim [/mm] B(1,p) binomialverteilt ist mit [mm] \summe_{i=1}^{N}X_i \sim [/mm] B(N,p). |
Hi,
ich scheitere leider an dieser Aufgabe. Ich habe nicht mal einen guten Anatz :(, da ich mich schon Frage, wie eine Summe aus Zahlen, was ja wiederum nur eine Zahl ist, binomialverteilt sein kann. Es kommt ja ein konkreter, diskreter Wert raus...
Ich habe die Binimialverteilung bis jetzt so verstanden, dass ich mit X [mm] \sim [/mm] B(a, b) bei a angebe, wie oft ein Ereigniss eintritt und bei b die Wahrscheinlichkeit angebene. Also für die Aufgabe ist daher B(N,p) angegeben, weil das in der Summe bis N steht, also N Ereignisse eintreten.
Was ich damit dann aber berechne weiß ich leider nicht.
Danke schonmal für Tips, Hinweise und Hilfe.
Gruß,
Lupi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 So 06.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Lupi99,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da schau her.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 06.12.2009 | | Autor: | Lupi99 |
Vielen Dank. Das hat mir auf jeden Fall schonmal weitergeholfen, aber leider verstehe ich nicht alles daran. Das Problem ist auch, dass wir diese Faltungsformel nicht im Skript haben und ich auch nicht weiß, wie ich die herleiten kann.
Wir haben gegeben, was die Binomialverteilung ist:
[mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)*{n-k}) [/mm]
und was die Bernoulli Verteilung ist (tippe ich jetzt mal nicht ab).
Muss ich jetzt überhaupt rechnen:
[mm] P(\summe_{i=1}^{n}X_i=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)*{n-k}) [/mm]
Dann habe ich ja imho nur n*X und kann für k also immer n*X einsetzen. Was das mit er Faltungsformel zu tun hat, weiß ich leider nicht....
(OK, da tun sich sicherlich gerade Abgründe auf). Ich hab leider auch noch nicht verstanden, wie die Summe aus Zufallsvariablen verteilt sein kann. Das ist doch nur ein diskreter Wert, den man errechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 06.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Vielen Dank. Das hat mir auf jeden Fall schonmal
> weitergeholfen, aber leider verstehe ich nicht alles daran.
> Das Problem ist auch, dass wir diese Faltungsformel nicht
> im Skript haben und ich auch nicht weiß, wie ich die
> herleiten kann.
>
> Wir haben gegeben, was die Binomialverteilung ist:
> [mm]P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)*{n-k})[/mm]
> und was die Bernoulli Verteilung ist (tippe ich jetzt mal
> nicht ab).
>
> Muss ich jetzt überhaupt rechnen:
> [mm]P(\summe_{i=1}^{n}X_i=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)*{n-k})[/mm]
Anbei findest du die Wsken [mm] $P(X_1=x_1,X_2=x_2)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)$.
[/mm]
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline &\multicolumn{2}{c}{x_2}\\\cline{2-3} x_1& 0 & 1 & \sum\\\hline 0 & (1-p)^2 & p(1-p) & 1-p \\ 1 & p(1-p) & p^2 & p \\\hline \sum &1-p & p & 1 \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
Daraus kannst du ableiten [mm] $P(X_1+X_2=0)=P(X_1=0,X_2=0)=(1-p)^2=\binom{2}{0}p^0(1-p)^2$, $P(X_1+X_2=1)=P(X_1=0,X_2=1)+P(X_1=1,X_2=0)=2p(1-p)^2=\binom{2}{1}p^1(1-p)^1$, $P(X_1+X_2=2)=P(X_1=1,X_2=1)=p^2=\binom{2}{2}p^0(1-p)^2$.
[/mm]
Wiederhole diese Vorgehensweise fuer [mm] $n=3,4,\dots$ [/mm] (Vollst. Induktion!)
>
> Dann habe ich ja imho nur n*X und kann für k also immer
> n*X einsetzen. Was das mit er Faltungsformel zu tun hat,
> weiß ich leider nicht....
Du irrst. Stell dir vor, du wirfst zwei Wuerfel. Jedem Wurf ordnest du
die Augensumme zu. Dann nimmt die Summe der Werte [mm] 2,3,\dots,11,12 [/mm] an und
nicht, analog zu zu deiner Argumentation [mm] $2\cdot1,2\cdot2,\dots,2\cdot6.
[/mm]
vg Luis
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