Binomialverteilung Roulette < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:01 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Ringo26 |
| Aufgabe | Beim Roulettespiel bleibt die Kugel auf einem der 37 Felder (mit den Nummern 0,1,2,..., 36) stehen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Kugel in n Runden keinmal auf dem Feld mit der 0 liegen bleiben.
b) Nach n Runden stellt man fest, dass die Kugel auf 10 der 37 Felder noch nicht liegen geblieben ist. Schätze, wie oft das Spiel durchgeführt wurde. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass es sich um das Kugel-Fächer-Modell handelt. Dafür gibt es eine Formel: (n über [mm] k)*((1/m)^k))*(m-1/m)^n-k. [/mm] k und m kenne ich. k soll 0 sein und m ist gleich 37. Leider bringt mir die Formel gar nichts, weil ich nicht weiß was n ist. Wie soll ich also die Wahrscheinlichkeit ausrechnen ohne n zu wissen? Ich dachte man könnte die Formel irgendwie umformen, um n rauszufinden. Das habe ich aber leider nicht geschafft...
Zu b) dachte ich mir, dass man die Häufigkeitsinterpretation benutzen muss, um die Anzahl der Runden also n herauszufinden.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beim Roulettespiel bleibt die Kugel auf einem der 37 Felder
> (mit den Nummern 0,1,2,..., 36) stehen.
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Kugel in n
> Runden keinmal auf dem Feld mit der 0 liegen bleiben.
> b) Nach n Runden stellt man fest, dass die Kugel auf 10
> der 37 Felder noch nicht liegen geblieben ist. Schätze,
> wie oft das Spiel durchgeführt wurde.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich weiß, dass es sich um das Kugel-Fächer-Modell
> handelt. Dafür gibt es eine Formel: (n über
> [mm]k)*((1/m)^k))*(m-1/m)^n-k.[/mm] k und m kenne ich. k soll 0 sein
> und m ist gleich 37. Leider bringt mir die Formel gar
> nichts, weil ich nicht weiß was n ist. Wie soll ich also
> die Wahrscheinlichkeit ausrechnen ohne n zu wissen? Ich
> dachte man könnte die Formel irgendwie umformen, um n
> rauszufinden. Das habe ich aber leider nicht geschafft...
Das ist der völlig falsche Ansatz. Wenn du dir klar machst, dass man die Wahrscheinlichkeit soieso nur in Abhängigkeit von n angeben kann, und dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 36/37 nicht auf der Null liegen bleibt, sollte die a) vollends machbar sein. 
> Zu b) dachte ich mir, dass man die
> Häufigkeitsinterpretation benutzen muss, um die Anzahl der
> Runden also n herauszufinden.
Hier solltest du mal noch dazusagen, welcher Hintergrund vorausgesetzt werden darf. Wenn ich mich nicht irre, ist das bei b) eine relativ anspruchsvolle Aufgabenstellung in Richtung des sog. Sammlerproblems und damit wäre die Aufgabe sicherlich keinesfalls mit schulmathematischen Mitteln lösbar.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
bitte stelle den Status einer beantworteten Frage nicht grundlos zurück auf 'unbeantwortet'. Wenn du weitere Fragen hast, dann stelle sie in Form eines weitern Beitrags im Thread.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Ringo26 |
Sorry Diophant,
ich habe anfangs deine Antwort nicht im Diskussionsstrang gesehen und deshalb die Frage auf unbeantwortet gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Ringo26 |
Durch Diophant weiß ich, dass die Wahrscheinlichkeit 36/37 für das Ereignis: Kugel bleibt keinmal liegen ist. Wie aber löse ich b)? Bei meinem Mathebuch handelt es sich um ein Buch für die Oberstufe des Gymnasiums. Ich müsste es also eigentlich mit schulischen Mitteln lösen können. Wenn nicht, dann ist das Buch schlecht :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Ringo26 |
Diophant das ist nicht böse gemeint aber ich habe den Status auf noch nicht beantwortet gestellt, damit noch andere User meine Frage sehen und mir vielleicht bei Aufgabe b) helfen können. Aufgabe a) hast du ja schon beantwortet :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Diophant das ist nicht böse gemeint aber ich habe den
> Status auf noch nicht beantwortet gestellt, damit noch
> andere User meine Frage sehen und mir vielleicht bei
> Aufgabe b) helfen können. Aufgabe a) hast du ja schon
> beantwortet :)
Bei Aufgabe a) habe ich dir einen Hinweis gegeben und zu Aufgabe b) habe ich dich gebeten, mehr über deinen Kenntnisstand zu sagen oder aber zu prüfen, ob die Aufgabe richtig wiedergegegeben ist. So, wie sie dasteht, ist sie sehr schwer und mit Schulmathe-Mitteln nicht zu stemmen. Da in deinem Profil steht, dass du Schüler bist, besteht hier Klärungsbedarf, bevor zielführende Antworten gegeben werden können.
Und nochmal: bitte den Artikelstatus belassen und wenn du weitere Fragen hast, stelle sie in einem neuen Beitrag im selben Thread.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Ringo26 |
Hallo Diophant,
ich weiß trotz deines Hinweises leider immer noch nicht wie ich a) lösen kann. Normalerweise wissen mein Freund und ich immer schnell die Lösung. Heute hatten wir keinen blassen Schimmer was n ist...
Zu b): Die Frage habe ich richtig abgeschrieben. Es ist eine Aufgabe zum Kugel-Fächer-Modell/als Überthema Binomialverteilung. Mein Lehrer meint, dass dieses Aufgabe mit dem Kugel-Fächer-Modell gelöst werden soll. Wie er sich das vorgestellt hat, weiß ich nicht.
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Hallo,
zu a):
In jeder Runde ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht auf 0 fällt, 36/37.
Da die Roulette-Spiele unabhängig voneinander sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nach n Spielen nicht auf 0 fällt:
[mm] $\left(\frac{36}{37}\right)^{n}$
[/mm]
zu b):
Da nach einer Schätzung von n verlangt wird, gibt es keinen ultimativen Lösungsweg. Beim Kugel-Fächer-Modell taucht aber häufig folgendes auf:
Hat man m Fächer und n Kugeln, die zufällig auf die Fächer verteilt werden, so beträgt der Erwartungswert der leeren Fächer:
$Z = [mm] m*\left(\frac{m-1}{m}\right)^{n}$
[/mm]
Du hast m = 37 Fächer und möchtest, dass nach $n$ Spielen Z = 10 Kugeln übrig bleiben.
Viele Grüße,
Stefan
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> zu b):
> Da nach einer Schätzung von n verlangt wird, gibt es
> keinen ultimativen Lösungsweg. Beim Kugel-Fächer-Modell
> taucht aber häufig folgendes auf:
>
> Hat man m Fächer und n Kugeln, die zufällig auf die
> Fächer verteilt werden, so beträgt der Erwartungswert der
> leeren Fächer:
>
> [mm]Z = m*\left(\frac{m-1}{m}\right)^{n}[/mm]
>
> Du hast m = 37 Fächer und möchtest, dass nach [mm]n[/mm] Spielen Z
> = 10 Kugeln übrig bleiben.
Hallo Stefan
Ich weiß nicht, ob es angebracht ist, in einer solchen
Situation einfach eine Formel zu präsentieren, die zwar
möglicherweise richtig ist, aber ohne jegliche Begründung
bzw. ohne einen Hinweis daherkommt, wie man die Formel
allenfalls selber herleiten könnte.
LG , Al-Chw.
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Hallo Al,
> Ich weiß nicht, ob es angebracht ist, in einer solchen
> Situation einfach eine Formel zu präsentieren, die zwar
> möglicherweise richtig ist, aber ohne jegliche
> Begründung
> bzw. ohne einen Hinweis daherkommt, wie man die Formel
> allenfalls selber herleiten könnte.
Du hast Recht.
Ich ging davon aus, dass sie diese Formel vielleicht schon im Unterricht in ähnlicher Weise behandelt haben.
Zur Ergänzung:
Betrachtet man ein einzelnes Fach, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nach einem Versuch nicht dort rein fällt, (m-1)/m. Nach n unabhängigen Versuchen entsprechend [mm] ((m-1)/m)^{n}.
[/mm]
Der Erwartungswert der leeren Fächer ist die Summe der Erwartungswerte der einzelnen Fächer:
$Z = [mm] m*((m-1)/m)^{n}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Di 27.08.2013 | | Autor: | Ringo26 |
Ok danke für eure Antworten. b) scheint Schwierigkeiten zu machen. Morgen hab ich wieder Matheunterricht bin gespannt, wie sich unser Lehrer das vorgestellt hat.
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