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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | Hallo liebe Community,
ich soll folgende Aufgabe Beweisen, wobei mir wenn ich alles richtig gerechnet habe der letzte Schritt nicht klar ist.
[mm] \foraal [/mm] x [mm] \in \IR, \forall [/mm] k [mm] \in \IN \ge0 [/mm] : [mm] \vektor{x \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{x \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{x+1 \\ k} [/mm] |
Mein Rechenweg:
[mm] \vektor{x \\ k}+\vektor{x \\ k-1}=\bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k-1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{x!(k-1)+x!(x-k)!}{(k-1)!(x-k)!}=\bruch{x!k-x!+x!+x!x-x!k}{(k-1)!(x-k)}!
[/mm]
[mm] =\bruch{x!(x+1)}{(k-1)!(x-k)!} [/mm] Wie komme ich jetzt von diesem Term (unter der Voraussetzung das alles richtig ist auf [mm] \vektor{x+1 \\ k} [/mm] ?
Ich hoffe das mir einer helfen kann!
Vielen Dank im Voraus!
Skyrula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Fr 31.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> [mm]\bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k-1)!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{x!(k-1)+x!(x-k)!}{(k-1)!(x-k)!}[/mm]
Das rechne mal langsam vor. Wie lautet Dein Hauptnenner, bevor Du die Brüche addierst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
[mm] \bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k-1)!}=\bruch{x!+x!}{(k!(x-k)!)((k-1)!(x-k-1)!)}
[/mm]
So ein dummer Fehler, ist es denn so richtig? Zusammenfassen würde ich es dann im nächsten Schritt
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Hallo, du hast
[mm] \vektor{x \\ k}+\vektor{x \\ k-1}=\bruch{x!}{k!*(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!*(x-k+1)!}
[/mm]
der Hauptnenner lautet k!*(x-k+1)!
erweitere den 1. Summanden mit (x-k+1) denn (x-k)!*(x-k+1)=(x-k+1)!
erweitere den 2. Summanden mit k denn (k-1)!*k=k!
dann alles auf einen Bruchstrich, ein Hinweis gebe ich dir noch, klammere dann im Zähler x! aus
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Vielen Dank für die Antwort,
ich habe nun folgendes errechnet und hoffe, das es bis dahin jetzt endlich stimmt, denn langsam wird es peinlich für mich:
[mm] \bruch{x!(x-k+1)}{(k!(x-k)!)(x-k+1)}+\bruch{x!k}{k((k-1)!(x-k+1)!)}
[/mm]
= [mm] \bruch{x!(x-k+1)}{k!(x-k+1)!}+\bruch{x!k}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!k}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
[mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
das müsste glaub ich doch so sein [mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k-1)}{k!(x-k+1)!} [/mm] oder?
X Ausklammern:
[mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k-1)!}=\bruch{x!x-x!k+x!+x!k-x!}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{x!x}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
hoffe das war so gemeint!
Vielen Dank für die ganze Hilfe
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Hallo, bis hier war alles ok, hat Fulla dir schon gesagt
[mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!k}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
im Zähler x! ausklammern
[mm] =\bruch{x!(x-k+1+k)}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{x!(x+1)}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x+1)!}{k!(x-k+1)!}
[/mm]
jetzt bedenke x-k+1=x+1-k
jetzt schaffst du auch noch den letzten Schritt
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Ich bin völlig leer im Kopf! Ich möchte mich bei allen bedanken die mir geholfen haben, aber selbst der letzte Schritt wir mir nicht in die Birne kommen wie ich das aufschreiben soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Skyrula,
wie wär's mit
[mm]\ldots= \frac{(x+1)!}{k!\cdot (x-k+1)!}=\frac{(x+1)!}{k!\cdot ((x+1)-k)!}=\binom{x+1}{k}[/mm]?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Mir ist völlig unklar, wieso der Nenner am Ende k ergibt. könnte mir das noch jemand erklären? Tausend Dank
$ [mm] \ldots= \frac{(x+1)!}{k!\cdot (x-k+1)!}=\frac{(x+1)!}{k!\cdot ((x+1)-k)!}=\binom{x+1}{k} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Skyrula,
ich weiß nicht, ob die untere Zahl beim Binomialkoeffizienten einen Namen hat, aber "Nenner" heißt sie bestimmt nicht...
Betrachte die Definition des Binomialkoeffizienten:
[mm]\binom {\green{n} }{\blue{k}} =\frac{\green{n}!}{\blue{k}!\cdot (\green{n}-\blue{k})!}[/mm]
Hier hast du [mm]\frac{\green{(x+1)}!}{\blue{k}!\cdot (\green{(x+1)}-\blue{k})!}=\binom{\green{x+1}}{\blue{k}}[/mm].
Jetzt klarer?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Vielen vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Skyrula!
> Mein Rechenweg:
>
> [mm]\vektor{x \\ k}+\vektor{x \\ k-1}=\bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k\red{-1})!}[/mm]
Bei der rot markierten Stelle muss +1 stehen, denn [mm]x-(k-1)=x-k+1[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Danke, ist korrigiert.
Stimmt denn mein Hauptnenner jetzt?
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