Binomialkoeffizient verbal < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wie viele siebenstellige Zahlen können aus den Ziffern 1; 2; 3; 3; 0; 0; 0 gebildet werden? |
Die Lösung ist 6über3 mal 4über2 mal 2über1 mal 1über1 = 240
Könnte mir jemand diese Lösung zur obenstehenden Frage verbalisieren, bitte.
Einen anderen Lösungsweg brauche ich nicht. Den habe ich schon. Es geht mir rein ums Nachvollziehen.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hast recht, das ist wirklich schwer zu erkennen wie das zu stande kommt...
Zur Erklärung:
Hier werden für die Zahlen Stellen gesucht.
Also für die 3 Nullen gibt es 6 mögliche Positionen (erste Stelle geht ja nicht, sonst wäre die Zahl nicht siebenstellig), gibt ${6 [mm] \choose [/mm] 3}$.
Für die beiden Dreien sind dann noch vier Positionen übrig ${4 [mm] \choose [/mm] 2}$.
etc.
MfG
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
Vielen Dank Schadowmaster!
> zu aller erst mal ist das wirklich eine doofe Art auf die
> Lösung zu kommen, hast du ja scheinbar schon selbst
> gemerkt.^^
>
Blöde Frage vielleicht: Was wäre denn die kluge Art auf die Lösung zu kommen? Etwa 4 * 6 * 5 * 2 * 1 = 240. Ich weis nicht so recht. Darauf muß man erst mal kommen. Oder haste was noch besseres?
Grüße
einstudent
|
|
|
| |
|
Ich persönlich würde es mit Multinominalkoeffizienten machen.
Klingt zwar böse, wenn man es noch nicht gehört hat, ist aber eigendlich ganz einfach:
Für die erste Stelle gibt es 4 Möglichkeiten (1,2,3,3).
Dann können wir die anderen 6 Ziffern beliebig anordnen, sind wir bei:
$4*6!$
Nun wurden allerdings einige Kombinationen mehrfach gezählt.
Nehmen wir zum Beispiel an die 0en stehen an den Positionen 1,3,5.
Dann hat man drei Positionen und drei Nullen und egal wie die Nullen auf diese Positionen verteilt sind, es kommt immer die gleiche Zahl raus.
Drei Zahlen auf drei Positionen zu verteilen gibt es bekanntermaßen 3! Möglichkeiten für.
Das gleiche Spiel mit der 2 ergibt also insgesamt:
$4* [mm] \frac{6!}{2!*3!} [/mm] = 240$
Auf diese Art lassen sich die Lösungen für solche Aufgaben wie "wie viele verschiedene Zahlen können aus den Ziffern 1,1,2,3,3,3,5,5,5,6 bilden" (Antwort: [mm] $\frac{10!}{2!*3!*3!}$ [/mm] Stück)
oder
"wie viele Wörter kann man aus den Buchstaben des Wortes "Kaninchen" bilden?" (Antwort: [mm] $\frac{9!}{3!}$ [/mm] Stück)
recht leicht berechnen.
Ein paar weitere schöne Beispiele kannst du sonst auch hier nachlesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialkoeffizient#Kombinatorische_Deutungen
Also wie gesagt, ich würde es damit lösen.^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 08.09.2011 | | Autor: | einstudent |
Vielen Dank Schadowmaster :)
|
|
|
| |
|
> Ich persönlich würde es mit Multinominalkoeffizienten
> machen.
> Klingt zwar böse, wenn man es noch nicht gehört hat, ist
> aber eigendlich ganz einfach:
> Für die erste Stelle gibt es 4 Möglichkeiten (1,2,3,3).
> Dann können wir die anderen 6 Ziffern beliebig anordnen,
> sind wir bei:
> [mm]4*6![/mm]
> Nun wurden allerdings einige Kombinationen mehrfach
> gezählt.
> Nehmen wir zum Beispiel an die 0en stehen an den
> Positionen 1,3,5.
> Dann hat man drei Positionen und drei Nullen und egal wie
> die Nullen auf diese Positionen verteilt sind, es kommt
> immer die gleiche Zahl raus.
> Drei Zahlen auf drei Positionen zu verteilen gibt es
> bekanntermaßen 3! Möglichkeiten für.
> Das gleiche Spiel mit der 2 ergibt also insgesamt:
> [mm]4* \frac{6!}{2!*3!} = 240[/mm]
Meiner Ansicht nach ist dies von den erforderlichen
Überlegungen her keinesfalls einfacher als die angeblich
"doofe" Lösung ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> zu aller erst mal ist das wirklich eine doofe Art auf die
> Lösung zu kommen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
was soll daran doof sein ??
LG Al
|
|
|
| |
|
hast ja Recht, "schwer verständlich" triffts vielleicht eher. *g*
|
|
|
| |
|
> hast ja Recht, "schwer verständlich" triffts vielleicht
> eher. *g*
Was einem an kombinatorischen Lösungswegen allenfalls
schwer verständlich ist, ist wohl reine Gewohnheitssache.
Es gibt da ja oft recht unterschiedliche Betrachtungsweisen,
die allesamt zum Ziel führen.
LG Al
|
|
|
|
