Binomialkoeffizient Beweis < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Splish |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] x\in\IR. [/mm] Beweisen Sie, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm]
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k
[/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dem ausstehenden Beweis wobei ich an einem bestimmten Punkt nicht weiter komme.
Über Induktion bin ich bei n+1 zu einer Stelle gekommen, wo ich die 2 Binomialkoeffizienten wieder zusammenbringen möchte:
[mm]
x^n+1+\summe_{k=1}^{n}( {n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1})
[/mm]
ich wollte mir die Tatsache zu nutze machen, dass
[mm]
{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}
[/mm]
habe aber nun mit dem [mm] x^{k-1} [/mm] und [mm] x^{k+1} [/mm] ein Problem^^.
Bin über jeden Hinweis dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
LG Splish
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Splish |
Hallo Marius und vielen dank für die schnelle Antwort und die nette Begrüßung,
genau diesen Ansatz habe ich verfolgt:
[mm]
(1+x)*\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k)=\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k) + \summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
durch eine Indexverschiebung des ersten Summanden komme ich auf:
[mm]
\summe_{k=1}^{n+1}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})=\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+x^{n+1-1}+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})+x = x^n+x+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1}) [/mm]
Die beiden Summen zusammen ergeben dann meine Formel.
[mm]= x^n+n+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1}
[/mm]
Den Beweis für [mm] {n \choose k}+{n \choose k+1} ={n+1 \choose k+1} [/mm] habe ich schon geführt und darf es somit auch benutzen.
LG Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mo 06.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> [mm]
(1+x)*\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k)=\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k) + \summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
>
> durch eine Indexverschiebung des ersten Summanden komme ich
> auf:
> [mm]
\summe_{k=1}^{n+1}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})=\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+x^{n+1-1}+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})+x = x^n+x+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
>
> Die beiden Summen zusammen ergeben dann meine Formel.
>
> [mm]= x^n+n+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1}
[/mm]
Das kann ich so überhaupt nicht nachvollziehen, du addierst hier doch Äpfel und Birnen, also verschiedene Potenzen von x. Vielleicht solltest du mit deiner Indexverschiebung mal bei der 2. Summe ansetzen.
> Den Beweis für [mm]{n \choose k}+{n \choose k+1} ={n+1 \choose k+1}[/mm]
> habe ich schon geführt und darf es somit auch benutzen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:34 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Splish |
Hallo Dieter,
den Ansatz über die Indexverschiebung probiere ich gleich mal aus, auf den ersten Blick siehts logisch aus, dass sich dann [mm] x^{k-1} [/mm] und [mm] x^{k+1} [/mm] durch die Korrektur verschieben müssten.
Aber wo liegt jetzt, abgesehen davon dass ich nicht zur Lösung komme, bei meinem bisherige Weg ein mathematischer Fehler? Ich habe doch nur die beiden Summen zusammengefasst, die ja die gleichen Schranken haben.
Ich meld mich dann gleich nochmal wegen dem anderen Lösungsweg.
Danke und Gruß
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Splish |
So, nach kurzer Pause und nen bissl Rechnen bin ich nun so weit:
[mm]
=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k +\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{k+1}=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k + \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} x^{k}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} x^k+1+\sum_{k=1}^n{n \choose k-1} x^k+x^{n+1}=x^{n+1}+1+\sum_{k=1}^n({n \choose k} x^k + {n \choose k-1} x^k)
=x^{n+1}+1+ \sum_{k=1}^n({n+1 \choose k} x^k) = x^{n+1}+\sum_{k=0}^n({n+1 \choose k} x^k )
[/mm]
Wie nun aber weiter? ich muss doch auf [mm] \sum_{k=0}^{n+1}({n+1 \choose k} x^k) [/mm] kommen oder?
LG Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 06.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> So, nach kurzer Pause und nen bissl Rechnen bin ich nun so
> weit:
> [mm]
=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k +\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{k+1}=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k + \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} x^{k}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} x^k+1+\sum_{k=1}^n{n \choose k-1} x^k+x^{n+1}=x^{n+1}+1+\sum_{k=1}^n({n \choose k} x^k + {n \choose k-1} x^k)
=x^{n+1}+1+ \sum_{k=1}^n({n+1 \choose k} x^k) = x^{n+1}+\sum_{k=0}^n({n+1 \choose k} x^k )
[/mm]
>
> Wie nun aber weiter? ich muss doch auf
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1}({n+1 \choose k} x^k) [/mm] kommen oder?
Jetzt guck mal genau hin: Da bist du doch!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Splish |
Arg, da hab ich wohl eine ganze Tomatenplantage auf den Augen gehabt Oo.
Ich habs... vielen dank :).
Gruß Lars
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