Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Sa 16.09.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Zeigen sie das:
[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] |
Hallo,
ich habe schon ähnliches gemacht, aber ich habe keine Ahnung wie ich hier überhaupt anfangen soll. Das Problem ist, dass ich hier überhaupt keinen Zusammenhang sehe.
Als Hinweis wird noch gegeben das: [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}=\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1} [/mm] ist, was man sich ja aus dem Pascalschen Dreieck ableiten kann. Aber auch das hilft mir nicht wirklich weiter. Ich habe auch ein Problem mit diesen blöden Summenzeichen. Ich habe mal probiert das ganze mit Zahlen durchzuspielen, z.B. von 1 bis 4 aber da scheitere ich schon an der Darstellung der Summe. Ich weiss gar nicht genau, wie diese Summe eigentlich zu verstehen ist. Ich weiss zwar was sie bedeutet und wie sie interpretiert wird, aber in diesem Beispiel tue ich mich schwer damit.
Es wäre nett wenn mir mal jemand zeigt, wie man hier auf das Ergebnis kommt. Ich brauche immer so einen kleinen Denkanstoß, sonst hänge ich manchmal an den einfachsten Sachen.
Gruß,
clwoe
|
|
| |
|
Warum kein Beispiel, um zu sehen, worum es überhaupt geht? Nehmen wir etwa den Fall [mm]k=2, \, n=5[/mm]. Dann lautet die Formel
[mm]{2 \choose 2} + {3 \choose 2} + {4 \choose 2} + {5 \choose 2} = {6 \choose 3}[/mm]
Der Index [mm]i[/mm] läuft ja von [mm]i=k=2[/mm] bis [mm]i=n=5[/mm]. Und warum gilt das nun? Der Trick ist, daß man von links immer zwei Summanden mit der Regel vom Pascalschen Dreieck zusammenfaßt und die Summe abarbeitet, bis die rechte Seite herauskommt. Und damit das Ganze in die Gänge kommt, ersetzen wir zunächst [mm]{2 \choose 2}[/mm] durch [mm]{3 \choose 3}[/mm]. Das darf man, da ja beide Binomialkoeffizienten den Wert 1 haben. Und los geht's!
[mm]{2 \choose 2} + {3 \choose 2} + {4 \choose 2} + {5 \choose 2}[/mm]
[mm]={3 \choose 3} + {3 \choose 2} + {4 \choose 2} + {5 \choose 2}[/mm]
[mm]={4 \choose 3} + {4 \choose 2} + {5 \choose 2}[/mm]
[mm]={5 \choose 3} + {5 \choose 2}[/mm]
[mm]={6 \choose 3}[/mm]
Und diesen Rechengang mußt du jetzt nur verallgemeinern. Scheue dich nicht, das Summenzeichen wegzulassen und die Summe explizit hinzuschreiben, d.h. die ersten drei oder vier Glieder der Summe, dann drei Pünktchen [mm]+ \ldots +[/mm] und die letzten drei oder vier Glieder.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 16.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
also ich habe mir die letzten zwei Stunden wirklich Mühe gegeben, aber ich glaube nicht, dass mein Weg zum Ziel der richtige ist. Ich verstehe nicht so genau wie ich es verallgemeinern soll, vorallem komme ich voll durcheinander bei den letzten Gliedern der Summe, die ersten sind ja ok, denke ich zumindest, aber ich weiss nicht wie ich die letzten verallgemeinern soll, vorallem wie dann am ende das Ergebnis aussehen soll, so dass da auch das steht was rauskommen soll. Ich bin langsam echt am verzweifeln.
$ {2 [mm] \choose [/mm] 2} + {3 [mm] \choose [/mm] 2} + {4 [mm] \choose [/mm] 2} + {5 [mm] \choose [/mm] 2} $
$ ={3 [mm] \choose [/mm] 3} + {3 [mm] \choose [/mm] 2} + {4 [mm] \choose [/mm] 2} + {5 [mm] \choose [/mm] 2} $
$ ={4 [mm] \choose [/mm] 3} + {4 [mm] \choose [/mm] 2} + {5 [mm] \choose [/mm] 2} $
$ ={5 [mm] \choose [/mm] 3} + {5 [mm] \choose [/mm] 2} $
$ ={6 [mm] \choose [/mm] 3} $
Ich habe dein Beispiel mal durchgemacht und habe es mit Hilfe des Pascalschen dreiecks auch verstanden und nachvollziehen können, ich habe auch versucht diesen Weg zu verallgemeinern aber irgendwie, ich weiss nicht.
Hier mal mein Weg, der erste von zweien allerdings:
Ohne Summenzeichen geschrieben von k=2 bis n=5 wie im Beispiel oben mit Zahlen.
[mm] =\vektor{k \\ k}+\vektor{k+1 \\ k}+\vektor{k+2 \\ k}+\vektor{k+3 \\ k}
[/mm]
[mm] =\vektor{k+1 \\ k+1}+\vektor{k+1 \\ k}+\vektor{k+2 \\ k}+\vektor{k+3 \\ k}
[/mm]
[mm] =\vektor{k+2 \\ k+1}+\vektor{k+2 \\ k}+\vektor{k+3 \\ k}
[/mm]
[mm] =\vektor{k+3 \\ k+1}+\vektor{k+3 \\ k}
[/mm]
[mm] =\vektor{k+4 \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Wenn also für n=5 und k=2 das ganze steht funktioniert es. Ich bin mir allerdings nicht so sicher, ob das überhaupt stimmt, was ich gemacht habe.
Das ist genau das Zahlenbeispiel von oben verallgemeinert. Allerdings habe ich nicht mit +...+ gearbeitet. Dies habe ich beim zweiten Ansatz versucht, aber irgendwie haut es nicht so hin weil ich nicht genau weiss wie ich es dann machen muß.
Ich schreibe hier mal nur die erste Zeile hin vom zweiten Ansatz.
Es müsste doch dann so aussehen oder???
[mm] =\vektor{k \\ k}+\vektor{k+1 \\ k}+\vektor{k+2 \\ k}+\vektor{k+3 \\ k}+...+\vektor{n-2 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n \\ k}
[/mm]
Vorne mache ich jetzt so weiter wie vorhin auch beim ersten Ansatz, aber wie mache ich es auf der rechten Seite bei den letzten Gliedern, hier muss ich doch auch zusammenfassen oder nicht??? Und wie sieht dann das Ergebnis aus???
Ich glaube ich überleg mir das mit dem Mathe Studium nochmal, wenn ich hier schon Probleme habe!!!
Ich weiss langsam echt nicht mehr weiter!
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo,
also meines Erachtens ist das ein typischer "vollständige Induktion"-Beweis, da sparst du dir die ganze Rechnerei.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Ich glaube ich überleg mir das mit dem Mathe Studium nochmal, wenn ich hier schon Probleme habe!!!
Holla!
Weißt du was? Jetzt gehst du erst einmal eine Runde (mit dem Hund) spazieren oder machst dir eine feine Tasse Tee oder schaust dir einfach eine dämliche Nachmittags-Soap im Fernsehen an. Die sind so blöd - da kannst du dich wunderbar entspannen. Und dann schaust du dir das Folgende an.
Man kann das natürlich alles auch mit dem Summenzeichen in vollendet prägnanter Darstellung machen. Aber was nutzt es, wenn du es so (noch) nicht richtig verstehst? Daher zuerst noch einmal die ausführliche Herleitung. Im zweiten Ansatz hast du ja richtig begonnen:
[mm]{k \choose k} + {{k+1} \choose k} + {{k+2} \choose k} + {{k+3} \choose k} + \ldots + {{n-2} \choose k} + {{n-1} \choose k} + {n \choose k}[/mm]
[mm]= {{k+1} \choose {k+1}} + {{k+1} \choose k} + {{k+2} \choose k} + {{k+3} \choose k} + \ldots + {{n-2} \choose k} + {{n-1} \choose k} + {n \choose k}[/mm]
[mm]= {{k+2} \choose {k+1}} + {{k+2} \choose k} + {{k+3} \choose k} + \ldots + {{n-2} \choose k} + {{n-1} \choose k} + {n \choose k}[/mm]
[mm]= {{k+3} \choose {k+1}} + {{k+3} \choose k} + \ldots + {{n-2} \choose k} + {{n-1} \choose k} + {n \choose k}[/mm]
Und jetzt mußt du im Beweis einen Satz der folgenden Art anbringen:
Und so geht das immer weiter. Durch Zusammenfassen jeweils der ersten beiden Summanden erhöht sich beim ersten Summanden die obere Zahl beim Binomialkoeffizienten, während die untere [mm]k+1[/mm] bleibt. Schließlich ist die obere Zahl einmal [mm]n-2[/mm]. Die Summe lautet dann noch:
[mm]= {{n-2} \choose {k+1}} + {{n-2} \choose k} + {{n-1} \choose k} + {n \choose k}[/mm]
[mm]= {{n-1} \choose {k+1}} + {{n-1} \choose k} + {n \choose k}[/mm]
[mm]= {n \choose {k+1}} + {n \choose k}[/mm]
[mm]= {{n+1} \choose {k+1}}[/mm]
Wenn du das einmal verstanden hast, kannst du auch Gonos Vorschlag beherzigen und das Ganze mit vollständiger Induktion formalisieren. Im übrigen bin ich der Ansicht, daß das Beispiel mit [mm]k=2, \, n=5[/mm] den Satz auch beweist, und zwar, weil es typisch ist und alles nach demselben Prinzip auch mit anderen Zahlenwerten [mm]k
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Sa 16.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
alles klar. Jetzt sehe ich warum, wieso und weshalb. Ich werde mich nun mal daran machen das ganze richtig mit Summenzeichen kürzer zu schreiben. Aber das Prinzip habe ich verstanden.
Vielen Dank ihr habt mir sehr geholfen.
Gruß,
clwoe
|
|
|
|
