Binomialkoeff. mit Brüchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 16.01.2008 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | a) Taylorreihenentwicklung von [mm] $(1+x)^m$ [/mm] für den Entwicklungspunkt $x=0$ bis zum 5. Glied.
b) Berechnung eines Näherungswertes für [mm] $\wurzel[3]{2}$.
[/mm]
|
Hallo,
Aufgabe a) habe ich schon mal richtig. Da kommt raus:
[mm] $(1+x)^m\approx\summe_{i=0}^n\vektor{m \\ i} x^i$
[/mm]
Das Problem ist jetzt b). Um [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] zu berechnen, müsste ich ja $x=1$ und [mm] $m=\bruch{3}{2}$ [/mm] in die Formel einsetzen. Aber wie kann ich Brüche in einen Binomialkoeffizienten einsetzen? Eigentlich ist der doch nur für ganzzahlige Werte definiert...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
(Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.)
|
|
| |
|
m muss hier nicht [mm] \bruch{3}{2}, [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sein. Das ist zwar auch keine gerade Zahl, aber den Binomialkoeffizienten kann man trotzdem damit ausrechnen, dann ist er eben
[mm] \bruch{\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{3}-1)*(\bruch{1}{3}-2)*...*(\bruch{1}{3}-(k-1))}{k!}
[/mm]
Bei 5 Gliedern ergibt sich dann
[mm] \wurzel[3]{2}=1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{9}+\bruch{5}{81}-\bruch{10}{243}=\bruch{302}{243}\approx1,242798
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 16.01.2008 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
ja mit dem fehlerhaften m-Wert hattest Du natürlich recht, sorry.
Dass man den Binomialkoeffizienten so ausrechnen kann wie bei Dir, leuchtet mir ein. Aber dann muss ich ja die Faktoren aller Fakultäten einzeln berechnen und dann multiplizieren. Gibts da keine Formel? Die definierte Formel
[mm] $\vektor{n}{k}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}$ [/mm] funktioniert für nicht ganzzahlige Werte von n ja leider nicht.
|
|
|
| |
|
Da [mm]x=1[/mm] auf dem Rand des Konvergenzintervalls liegt, ist die Konvergenz, sofern sie überhaupt vorliegt (hast du das überprüft?), miserabel schlecht. Ich würde daher etwas anderes vorschlagen:
[mm]\sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}}[/mm]
Du kannst daher die binomische Reihe mit dem Exponenten [mm]\frac{2}{3}[/mm] und [mm]x = - \frac{1}{2}[/mm] nehmen. Das dürfte eine wesentlich schnellere Konvergenz bringen.
Was die Berechnung der Binomialkoeffizienten angeht. Da gibt es wohl keine einfachere Formel, jedenfalls nicht für den allgemeinen Fall.
|
|
|
|
