Binomialkoef. Formel bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 13.12.2014 | | Autor: | steinole |
| Aufgabe | | Sei n, k [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 3. Bestimmen Sie eine Formel für [mm] {n+3 \choose k} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] {n \choose k}, {n \choose k-1}, {n \choose k-2}, {n \choose k-3}. [/mm] |
Hi,
ich weiß bei dieser Fragestellung nicht weiter und könnte Ideenansätze gebrauchen.
Es scheitert schon daran, dass ich nicht sicher weiß, was hier gefordert ist.
Mein erster Gedanke war eine Summenformel zu erstellen, die [mm] {n \choose k}, {n \choose k-1}, {n \choose k-2}, {n \choose k-3} [/mm] enthält und [mm] {n+3 \choose k} [/mm] ergeben soll.
Sowas in der Art:
[mm] \summe_{i=0}^{3}[/mm] [mm] {n \choose k - i} = {n+3 \choose k} [/mm]
Das wäre aber meiner Meinung nach zu trivial und außerdem falsch, wenn man Testwerte einsetzt.
Bedanke mich für jede Hilfe.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 13.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo steinole!
Ich glaube verstanden zu haben wie die Aufgabe gemeint ist.
Anderes Beispiel:
Bestimmen Sie eine Formel für [mm] $2x\$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $x\$.
[/mm]
Lösung: [mm] $2x=x+x\$
[/mm]
(Beachte: Vor "in Abhängigkeit" steht nicht sowas wie nur.)
Ich lasse mal auf teilweise beantwortet. Sicher bin ich nicht.
Übrigens gilt:
[mm] \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^n [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 13.12.2014 | | Autor: | steinole |
Hey,
danke für deine Antwort.
Das habe ich mir auch schon gedacht, dass es nur ein Teil vom Ganzen sein soll und man noch den entscheidenden Schritt finden muss.
Aber leider bin ich keinen Schritt weiter, auch dass gilt:
$ [mm] \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^n [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN_0. [/mm] $
oder die Pascals Identität bzw. der Binomische Lehrsatz bringen mich leider nicht weiter.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Sa 13.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Die besagte Eigenschaft habe ich dir am Ende nur zur Information
hingeschrieben. Ich habe nämlich geglaubt, dass du diese nicht
kennst. Marcel und Akabus haben dir schon den richtigen Weg ge-
zeigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 13.12.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
wir wissen aus dem Aufbau des Pascalschen Dreiecks, dass [mm]\pmat{n \\ k}+\pmat{n \\ k+1}=\pmat{n+1 \\ k+1}[/mm] gilt.
Es lassen sich also aus einer Zeile n die Werte der nächsten Zeile n+1 ermitteln.
Werte aus der Zeile n+3 lassen so sich aus zwei Werten der Zeile n+2 ermitteln, die wiederum aus je zwei benachbarten Zahlen der Zeile n+ stammen usw.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei n, k [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] 3. Bestimmen Sie eine
> Formel für [mm]{n+3 \choose k}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]{n \choose k}, {n \choose k-1}, {n \choose k-2}, {n \choose k-3}.[/mm]
>
> Hi,
>
> ich weiß bei dieser Fragestellung nicht weiter und könnte
> Ideenansätze gebrauchen.
>
> Es scheitert schon daran, dass ich nicht sicher weiß, was
> hier gefordert ist.
>
> Mein erster Gedanke war eine Summenformel zu erstellen, die
> [mm]{n \choose k}, {n \choose k-1}, {n \choose k-2}, {n \choose k-3}[/mm]
> enthält und [mm]{n+3 \choose k}[/mm] ergeben soll.
>
> Sowas in der Art:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{3}[/mm] [mm]{n \choose k - i} = {n+3 \choose k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das wäre aber meiner Meinung nach zu trivial und außerdem
> falsch, wenn man Testwerte einsetzt.
>
ich schlage auch vor, dass Du die Idee von Abakus verfolgst. Hier mal so
ein Bild dazu:
$\begin{matrix}{... & ... &... &... &... &\\... & {n \choose k} & {n \choose k+1} & ... & ...\\... & ... & {n+1 \choose k+1} & ... & ...}\end{matrix}$
Die Idee wäre damit erstmal folgende: Schau' Dir in dem Pascalschen
Dreieck erstmal an, wo ${n+3 \choose k}$ zu finden ist ($k+1\,$-te Spalte,
$n+4\,$-Zeile - dieses "+1", weil wir ja mit n=0 und k=0 anfangen!)
Markiere Dir vielleicht erstmal die Zahlen darin:
$\begin{matrix}{... &... &... & ... & ... & ... & ... &... &... \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... &... & ... \\ ... & ... & \green{n \choose k-3} & \green{n \choose k-2} & \green{n \choose k-1} & \green{n \choose k} & ... &... &... &\\... &... & ... &{n+1 \choose k-2} & {n+1 \choose k-1} & {n+1 \choose k} &... & ... & ... &\\... &... & ... & ... & {n+2 \choose k-1} & {n+2 \choose k} & ... & ... & ...\\... &... & ... &... & ... & \red{n+3 \choose k}} & ... & ... & ...}\end{matrix}$
Du musst also "einen Weg" von den grünen zu der roten Zahl *finden*:
${n+3 \choose k}={n+2 \choose k}+{n+2 \choose k-1}$
und dann ist
${n+2 \choose k}={n+1 \choose k}+{n+1 \choose k-1}$ sowie ${n+2 \choose k-1}=...$
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Ich selbst schreibe das Pascalsche Dreieck eigentlich lieber als "unendliche
untere Dreiecksmatrix":
[mm] $\begin{matrix}{0 \choose 0} & ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ {1 \choose 0} & {1 \choose 1} & ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ {2 \choose 0} & {2 \choose 1} & {2 \choose 2} & ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\{3 \choose 0} & {3 \choose 1} & {3 \choose 2} & {3 \choose 3}& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ ... & ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ ... & ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ... \end{matrix}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Sa 13.12.2014 | | Autor: | steinole |
Sehr gute Veranschaulichung, vielen Dank für die Mühe.
Ich bin jetzt auf jeden Fall um einiges weiter, es ist ja nun offensichtlich, dass die jeweiligen Summen und die daraus resultierenden Summen (...) irgendwann $ {n+3 [mm] \choose [/mm] k} $ ergeben.
Jetzt gilt es nur, dies in eine Formel zu verpacken:
Ich komme aber nur von dem Ergebnis zur zweiten Zeile.
$ [mm] \summe_{i=0}^{1} [/mm] {n + 1 [mm] \choose [/mm] k - 1 - i} + {n+1 [mm] \choose [/mm] k - i} = {n+3 [mm] \choose [/mm] k} $
Wie bekomme ich es nun hin, dass ich von der Zeile "n" aus beginne?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sehr gute Veranschaulichung, vielen Dank für die Mühe.
>
> Ich bin jetzt auf jeden Fall um einiges weiter, es ist ja
> nun offensichtlich, dass die jeweiligen Summen und die
> daraus resultierenden Summen (...) irgendwann [mm]{n+3 \choose k}[/mm]
> ergeben.
>
>
> Jetzt gilt es nur, dies in eine Formel zu verpacken:
>
> Ich komme aber nur von dem Ergebnis zur zweiten Zeile.
>
> [mm]\summe_{i=0}^{1} {n + 1 \choose k - 1 - i} + {n+1 \choose k - i} = {n+3 \choose k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie bekomme ich es nun hin, dass ich von der Zeile "n" aus
> beginne?
ich verstehe das Problem nicht ganz; fahr' doch einfach mal mit dem
Finger nach, welche Gleichheit hier benutzt wird - ich schlage auch vor,
das Ganze von unten (rot) nach oben zu rechnen!
Strukurvorgabe war:
$ \begin{matrix}{... &... &... & ... & ... & ... & ... &... &... \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... &... & ... \\ ... & ... & \green{n \choose k-3} & \green{n \choose k-2} & \green{n \choose k-1} & \green{n \choose k} & ... &... &... &\\... &... & ... &{n+1 \choose k-2} & {n+1 \choose k-1} & {n+1 \choose k} &... & ... & ... &\\... &... & ... & ... & {n+2 \choose k-1} & {n+2 \choose k} & ... & ... & ...\\... &... & ... &... & ... & \red{n+3 \choose k}} & ... & ... & ...}\end{matrix} $
Nun gilt:
${n+3 \choose k}$
$=\underbrace{{n+2 \choose k}}_{\text{Element direkt über dem roten}}+\underbrace{{n+2 \choose k-1}}_{\text{Element links über dem roten}}$
$=\left({n+1 \choose k}+{n+1 \choose k-1}\right)+\left({n+1 \choose k-1}+{n+1 \choose k-2}\right)$
(Bemerkung: ${n+1 \choose k}$ ist das Element direkt über ${n+2 \choose k}$, und ${n+1 \choose k-1}$ ist das Element "links über" ${n+2 \choose k}$;
zudem: ${n+1 \choose k-1}$ ist das Element direkt über ${n+2 \choose k-1}$, und ${n+1 \choose k-2}$ ist das Element "links über" ${n+2 \choose k-1}$)
$=...$
Ich mach's jetzt wirklich mal ganz knapp, und dennoch steckt in dem, was
ich Dir schreibe, dann die Lösung, Du brauchst nur noch die Variablen
richtig anzupassen (d.h. die Fragezeichen unten richtig ergänzen!):
$\begin{matrix}\green{a} & \green{b} & \green{c} & \green{d} \\
0 & e & f & g\\0 & 0 & h & i \\ 0 & 0 & 0 & \red{j}\end{matrix}$
Formel für $j={n+3 \choose k}$ mit $a=\text{?},$ $b=\text{?}, c=\text{?}$ und $d=\text{?}$:
$j=i+h=(g+f)+(f+e)$ (das könnte man hier schon zusammenfassen!)
$=((d+c)+(c+b))\;+\;((c+b)+(b+a))$
$=d+3c+3b+a\,.$
Natürlich wär' es schon, wenn Du für $e,f,g,h\,$ auch noch die Binomialkoeffizienten
hinschreiben würdest, die sie wohl darstellen. Aber beim Rechenergebnis
spielen sie keine Rolle, sie haben nur die Rolle von *Hilfsvariablen, die eine
gewisse Gleichung erfüllen*. (Was nicht heißt, dass die Variablen
bedeutungslos wären - nur für die Formel am Ende sind sie bedeutungslos,
nicht für den Weg hin zu der Formel!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 13.12.2014 | | Autor: | steinole |
Das ist mir alles bewusst. Ich hatte nur gedacht, dass wir, da wir vorher auch mehrfach mit Summenformeln gearbeitet haben, diese Formel auch mittels einer Summenformel vereinfacht darstellen können.
Dass ich es so hinschreiben kann wie du es nun nochmal gezeigt hast, war und ist mir bewusst, und ich werde es dann auch wohl so handhaben. Danke dafür.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist mir alles bewusst. Ich hatte nur gedacht, dass wir,
> da wir vorher auch mehrfach mit Summenformeln gearbeitet
> haben, diese Formel auch mittels einer Summenformel
> vereinfacht darstellen können.
>
> Dass ich es so hinschreiben kann wie du es nun nochmal
> gezeigt hast, war und ist mir bewusst, und ich werde es
> dann auch wohl so handhaben. Danke dafür.
na, wenn Du unbedingt willst:
${n+3 [mm] \choose k}=\sum_{m=0}^3 [/mm] {3 [mm] \choose [/mm] m} {n [mm] \choose [/mm] k-m}$
P.S. Wenn Du das Ergebnis etwa mal in Octave kontrollieren lassen willst:
| 1: | n=11;
| | 2: | k=8;
| | 3: | s=0;
| | 4: | for m=0:3
| | 5: | s=s+nchoosek(3,m)*nchoosek(n,k-m);
| | 6: | end;
| | 7: | disp(['Ergebnis der Rekursionsformel: ',num2str(s)]);
| | 8: | disp(['Direkte Berechnung zum Vergleich: ',num2str(nchoosek(n+3,k))]); |
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
