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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes, dass der Wert
[mm] (\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})^{n} [/mm] + [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{n}
[/mm]
für jedes geradnzahlige n [mm] \in \IN [/mm] ganzzahlig ist. |
Hallo , also der Binomische Lehrsatz ist folgender:
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] = [mm] \vektor{ n \\ k} a^{n-k} b^{k}
[/mm]
Mich irritiert die Aufgabenstellung bisschen. Da ich es ja für n zeigen soll , dachte ich Induktion und hab das gemacht:
Induktionsanfang : n = 0
[mm] (\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})^{0} [/mm] + [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{0} [/mm] = 1+1 = 2 , okay stimmt.
Induktionsschritt:
Nehmen an , Formel gilt für n [mm] \in \IN [/mm] (geradzahlig)
Also muss es auch für n+2 [mm] \in \IN [/mm] gelten.
Also will ich auf
[mm] (\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})^{n+2} [/mm] + [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{n+2} [/mm] kommen.
[mm] (\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})^{n+2} [/mm] + [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{n+2} [/mm] = ... ( [mm] (\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})^{n} [/mm] + [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{n} [/mm] )
Leider weiß ich nicht , was ich in die Pünktchen einsetzen soll. Und das schießt bisschen übers Ziel hinaus , da ich den Satz nicht benutzt habe.
Bezogen auf den Satz:
a ist [mm] (\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})^{n}
[/mm]
b ist [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{n}
[/mm]
Stehe grad bisschen aufm Schlauch..
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Hallo pc-doctor,
ich versuche mal, den Schlauch trotzdem in Betrieb zu nehmen...
> Zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes, dass der Wert
> [mm](\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3})^{n}[/mm] + [mm](\wurzel{2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{3})^{n}[/mm]
>
> für jedes geradnzahlige n [mm]\in \IN[/mm] ganzzahlig ist.
>
> Hallo , also der Binomische Lehrsatz ist folgender:
>
> [mm](a+b)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] = [mm]\vektor{ n \\ k} a^{n-k} b^{k}[/mm]
Jo, damit ist die Aufgabe lösbar, jedenfalls wenn Du das für b<0 einsetzen kannst.
> Mich irritiert die Aufgabenstellung bisschen. Da ich es ja
> für n zeigen soll , dachte ich Induktion
Ist hier zwar möglich, aber nicht nötig. Du kannst es direkt mit dem binomischen Satz oben zeigen.
> und hab das
> gemacht:
>
> Induktionsanfang : n = 0
> [mm](\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3})^{0}[/mm] + [mm](\wurzel{2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{3})^{0}[/mm] = 1+1 = 2 , okay stimmt.
>
> Induktionsschritt:
> Nehmen an , Formel gilt für n [mm]\in \IN[/mm] (geradzahlig)
> Also muss es auch für n+2 [mm]\in \IN[/mm] gelten.
>
> Also will ich auf
> [mm](\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3})^{n+2}[/mm] + [mm](\wurzel{2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{3})^{n+2}[/mm] kommen.
>
> [mm](\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3})^{n+2}[/mm] + [mm](\wurzel{2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{3})^{n+2}[/mm] = ... ( [mm](\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3})^{n}[/mm] +
> [mm](\wurzel{2}[/mm] - [mm]\wurzel{3})^{n}[/mm] )
>
> Leider weiß ich nicht , was ich in die Pünktchen
> einsetzen soll. Und das schießt bisschen übers Ziel
> hinaus , da ich den Satz nicht benutzt habe.
Es wird so auch ziemlich mühsam.
> Bezogen auf den Satz:
> a ist [mm](\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3})^{n}[/mm]
> b ist [mm](\wurzel{2}[/mm] - [mm]\wurzel{3})^{n}[/mm]
> Stehe grad bisschen aufm Schlauch..
[mm] (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m}+(\wurzel{2}-\wurzel{3})^{2m}=\left(\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m\\k}\wurzel{2}^k\wurzel{3}^{2m-k}\right)+\left(\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m\\k}\wurzel{2}^k(-1)^{2m-k}\wurzel{3}^{2m-k}\right)=\cdots
[/mm]
So, jetzt kannst Du die beiden Summen zusammenfassen. Schau Dir an, was da für gerade k passiert und was für ungerade k. Dann bist Du schnell fertig.
Grüße
reverend
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Um das noch einmal richtig zu verstehen:
Der Satz :
$ [mm] (a+b)^{n} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{ n \\ k} a^{n-k} b^{k} [/mm] $
Dann haben wir : [mm] (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m}+(\wurzel{2}-\wurzel{3})^{2m}
[/mm]
Dann ist doch erstmal der erste Summand folgender:
[mm] \summe_{k=0}^{2m} \vektor{2m \\ k} (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m-k} [/mm] * [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{k}
[/mm]
So okay , was ich nicht verstehe ist , du hast ja nicht [mm] \summe_{k=0}^{2m} \vektor{2m \\ k} (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m-k} [/mm] * [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{3})^{k}
[/mm]
,sondern [mm] \wurzel{2}^k\wurzel{3}^{2m-k} [/mm] , den Schritt verstehe ich nicht.
Außerdem weiß ich nicht , wie ich die Summe zusammenfassen soll.
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Hallo nochmal,
ah - da liegt der Hase im Pfeffer!
> Um das noch einmal richtig zu verstehen:
>
> Der Satz :
> [mm](a+b)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] = [mm]\vektor{ n \\ k} a^{n-k} b^{k}[/mm]
Ja, so wird er meistens notiert. Die Wahl der Buchstaben kann dabei natürlich auch anders aussehen.
> Dann haben wir :
> [mm](\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m}+(\wurzel{2}-\wurzel{3})^{2m}[/mm]
Genau, weil n gerade ist. Deswegen n:=2m.
> Dann ist doch erstmal der erste Summand folgender:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2m} \vektor{2m \\ k} (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m-k}[/mm]
> * [mm](\wurzel{2}[/mm] - [mm]\wurzel{3})^{k}[/mm]
Nein. Hier ist einfach [mm] a=\wurzel{2} [/mm] und [mm] b=\wurzel{3}.
[/mm]
> So okay , was ich nicht verstehe ist , du hast ja nicht
> [mm]\summe_{k=0}^{2m} \vektor{2m \\ k} (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2m-k}[/mm]
> * [mm](\wurzel{2}[/mm] - [mm]\wurzel{3})^{k}[/mm]
> ,sondern [mm]\wurzel{2}^k\wurzel{3}^{2m-k}[/mm] , den Schritt
> verstehe ich nicht.
Da habe ich einfach eingesetzt in die vom Satz vorgegebene Formel, siehe oben.
> Außerdem weiß ich nicht , wie ich die Summe
> zusammenfassen soll.
Sag ich doch: schau Dir mal an, was da aufsummiert wird für gerade k und für ungerade k.
Du wirst feststellen, dass alle Glieder mit ungeraden k wegfallen, und alle anderen sind ganzzahlig.
Grüße
reverend
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> Nein. Hier ist einfach [mm]a=\wurzel{2}[/mm] und [mm]b=\wurzel{3}.[/mm]
Hallo,
betrachtest du das getrennt ? Also machst du das ganze zwei Mal ? Denn ich dachte der erste geklammerte Summand wär a und der zweite geklammerte Summand wär b.
Wendest du den Satz einmal für a = [mm] \wurzel{2} [/mm] b = [mm] \wurzel{3} [/mm] und extra noch mal für a = [mm] \wurzel{2} [/mm] und b = - [mm] \wurzel{3} [/mm] ?
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Könnten wir das mal zusammen durchgehen , wenn wir z.b für k= 1 einsetzen , also eine ungerade Zahl , damit ich sehe , was da wegfällt..
[mm] \left(\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m\\k}\wurzel{2}^k\wurzel{3}^{2m-k}\right)+\left(\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m\\k}\wurzel{2}^k(-1)^{2m-k}\wurzel{3}^{2m-k}\right) [/mm] für k = 1
[mm] \left(\summe_{k=1}^{2m}\vektor{2m\\1}\wurzel{2}^1\wurzel{3}^{2m-1}\right)+\left(\summe_{k=1}^{2m}\vektor{2m\\1}\wurzel{2}^{-1}(-1)^{2m-1}\wurzel{3}^{2m-1}\right)
[/mm]
Was fällt da jetzt weg ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Könnten wir das mal zusammen durchgehen , wenn wir z.b
> für k= 1 einsetzen , also eine ungerade Zahl , damit ich
> sehe , was da wegfällt..
>
> [mm]\left(\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m\\k}\wurzel{2}^k\wurzel{3}^{2m-k}\right)+\left(\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m\\k}\wurzel{2}^k(-1)^{2m-k}\wurzel{3}^{2m-k}\right)[/mm]
> für k = 1
>
> [mm]\left(\summe_{k=1}^{2m}\vektor{2m\\1}\wurzel{2}^1\wurzel{3}^{2m-1}\right)+\left(\summe_{k=1}^{2m}\vektor{2m\\1}\wurzel{2}^{-1}(-1)^{2m-1}\wurzel{3}^{2m-1}\right)[/mm]
>
> Was fällt da jetzt weg ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du kannst doch nicht für $k$ etwas einsetzen!
Du sollst gucken was für gerade und ungerade $k$ beim Aufsummieren passiert!
DieAcht
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Hallo,
genau da liegt das Problem. Ich kann da nichts erkennen, für mich ist das nicht offensichtlich , dass da was wegfällt bei ungeraden k..
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Hallo nochmal,
die Summen sehen doch fast genauso aus. Nur gibt es in der rechten noch einen Faktor [mm] (-1)^{2m-k}. [/mm] Für ungerades k heißt das also: in der linken Summe wird etwas summiert, was in der rechten direkt wieder subtrahiert wird.
Bei geradem k ist das anders. Was links aufsummiert wird, wird auch rechts summiert. Aber für gerades k ist [mm] \wurzel{2}^k [/mm] eine ganze Zahl, und [mm] \wurzel{3}^k [/mm] auch.
Schreib die beiden Summen doch mal komplett in Einzelsummanden aus, für $n=2m=4$ oder vielleicht sogar $n=2m=6$.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 11.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank , jetzt habe ich es endlich kapiert. Danke an euch beide !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo reverend!
> Hallo nochmal,
>
> die Summen sehen doch fast genauso aus. Nur gibt es in der
> rechten noch einen Faktor [mm](-1)^{2m-k}.[/mm] Für ungerades k
> heißt das also: in der linken Summe wird etwas summiert,
> was in der rechten direkt wieder subtrahiert wird.
>
> Bei geradem k ist das anders. Was links aufsummiert wird,
> wird auch rechts summiert. Aber für gerades k ist
> [mm]\wurzel{2}^k[/mm] eine ganze Zahl, und [mm]\wurzel{3}^k[/mm] auch.
Für gerades $k$ ist [mm] (\sqrt{3})^k [/mm] noch immer ungerade, aber das Produkt ist gerade 
>
> Schreib die beiden Summen doch mal komplett in
> Einzelsummanden aus, für [mm]n=2m=4[/mm] oder vielleicht sogar
> [mm]n=2m=6[/mm].
>
> Grüße
> reverend
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mi 11.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hi TheEight,
do some close reading, will you.
There's a difference between "even" and "integer". 
Cheers,
rev
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
