Bin. Satz / geom. Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes (und der geometrischen Summenformel) die folgenden Summen. |
Hallo.
Ich erkenne nicht, aus welchem Grund bei der ersten Aufgabe der Exponent nicht angepasst wird und bei der zweiten Aufgabe aber schon, schließlich wird nach meinem Verständnis bei beiden Aufgaben eine "Summation bis n+1 gewünscht".
Welcher Gedanke steckt dahinter und gibt es eine Regel, die in solchen Fällen beachtet werden muss?
Erste Aufgabe:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\ k}2^{k+1}
[/mm]
Summation bis
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\ k}2^{k+1} [/mm] + [mm] 2^{n+2} [/mm] - [mm] 2^{n+2}
[/mm]
n+1 erwünscht
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}*2*2^{k} [/mm] - [mm] 2^{n+2}
[/mm]
= [mm] 2*\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}*2^{k}*1^{(n+1)-k} [/mm] - [mm] 2^{n+2}
[/mm]
= [mm] 2*(2+1)^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{n+2} [/mm] = [mm] 2*3^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{n+2}
[/mm]
= [mm] 2*(3^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{n+1})
[/mm]
Zweite Aufgabe:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n + 1 \\ k}x^{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n + 1 \\ k}x^{n-k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Exponent
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n + 1 \\ k}x^{(n+1)-k-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
anpassen
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n + 1 \\ k}x^{(n+1)-k}*\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x}*\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n + 1 \\ k}x^{(n+1)-k}*1^{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x}*(1+x)^{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x}[(1 [/mm] + [mm] x)^{n+1} [/mm] - 1]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Do 11.03.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Guck dir mal den binomischen Lehrsatz nochmal genauer an.
[mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}
[/mm]
Ein Faktor hat also nur einen Exponenten mit dem Laufindex (k) drinnen und der andere n-k.
Und in deiner 1. Aufgabe ist sozusagen der Faktor da, der nur k im Exponenten hat. In der 2. Aufgabe steckt der andere Faktor drinnen, der mit n-k. Daher passiert man da etwas anders an. Man nimmt also das, was ohnehin schon so da steht und ergänzt es etwas. Man muss eben nur wissen wo man hin will.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
|
