Bilinearform ( ausgeartet) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 So 30.10.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute
Ich habe hier ein Problem. Sitze seid ner stunde vor der Aufgabe und hab noch nichtmal eine ahnung was die von mir wollen.
Eine Bilinearform F (x , y) heißt " ausgeartet" falls ein [mm] x_{0} [/mm] existiert mit [mm] F(x_{0} [/mm] ,y) = 0 für alle y [mm] \in [/mm] X
Man zeige : F (x , y) ist genau dann ausgeartet, wenn die zugeordnete Matrix A singulär ist. ( |A| = 0 )
Meine Größtes Problem ist: Wie sieht eine Matrix aus, die einer Biliniearform zugeornet ist?
Vielen Dank
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 So 30.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Michael!
> Meine Größtes Problem ist: Wie sieht eine Matrix aus, die einer Biliniearform zugeornet ist?
Klar, das musst du schon wissen, bevor du die Aufgabe angehen kannst :)
Also, ist $V$ ein $n$-dimensionaler [mm] $\IK$-Vektorraum, $F:V\times V\to [/mm] K$ eine Bilinearform und [mm] $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ [/mm] eine beliebige Basis von $V$, dann wird $F$ wegen Linearität und Homogenität bereits durch die Bilder [mm] $F(v_i,v_j), i,j\in [/mm] [n]$ eindeutig bestimmt. Die Gramsche-Matrix [mm] $A=(a_{ij})_{i,j\in [n]}\in\IK^{n\times n}$ [/mm] von $F$ bzgl. $B$ wird nun über [mm] $a_{ij}=F(v_i,v_j)$ [/mm] definiert. Durch sie ist die Bilinearform eindeutig bestimmt. Für Vektoren [mm] $v=\sum \lambda_i v_i, w=\sum \mu_i v_i$ [/mm] ist dann [mm] $F(v,w)=\sum_{i,j\in [n]} \lambda_i \mu_j a_{ij}$. [/mm]
Ist nun klar, was mit der "der Bilinearform zugeordneten" Matrix gemeint ist?
Wenn ja, dann kannst du dich ja mal an der Aufgabe versuchen. Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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