Bilinearform, Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Leute,
ich sitze schon eine halbe Ewigkeit über meinem LA Blatt und dem Skript und gerade komme ich gar nicht mehr weiter.
Ich habe mich an der Aufgabe schon ein bisschen versucht...
Die Aufgabe lautet:
Auf V:= K[X] (und neben dem X steht noch ein ganz kleines n) sei eine Bilinearform
Beta(f,gKevin Kuranyi .
Man bestimme (bzgl. einer zu wählenden Basis von K[X]) die Strukturmatrix von Beta.
Ist Beta ausgeartet?
Man bestimme K[X] kleines n rechstorthogonal...
Soweit die Aufgabe.
Ich weiß jetzt nicht, ob man das so machen darf, aber ich habe jetzt erstmal mit der Basis angefangen und habe sie (alpha1,....,alpha n) gewählt. Was besseres ist mir nicht eingefallen.
Als nächstes habe ich mich gefragt, was das mit dem Beta (f,g) := f(1)g(1) auf sich hat. Worauf ich immer noch keine Antwort weiß.
Ich habe in einem Buch gelesen, dass die Strukturmatrix auch Gramschematrix heißt.
Und diese Matrix muss den Rang n haben, bzw. Det ungleich Null, wenn sie (also die Bilinearform Beta) nicht ausgeartet ist...
Ich muss nun also eine Strukturmatrix mit diesen Eigenschaften habe. Kann ich da dann einfach die
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm]
[/mm]
nehmen?
Und wie soll ich das nun in den Zusammenhang mit dem char. Polynom bringen.
Ich will gar nicht, dass die aufgabe gelöst wird, nur ein paar gute Tipps, ivh hoffe dann krieg ich es selber hin.
Vielen Dank, Cathy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Do 13.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ja, das ist echt doof, dass so ein Name da drin steht...
Ist das ein Fußballspieler?
So ist das, wenn der PC einem nicht alleine gehört. Sorry!
Okay, ich versuche es:
Auf V:= [mm] K[X]_n [/mm] sei die Bilinearform
[mm]$\beta$[/mm](f,g):= f(1)g(1) gegeben.
Man bestimme (bzgl. einer zu wählenden Basis von [mm] K[X]_n [/mm] die Strukturmatrix von [mm]$\beta$[/mm]. Ist [mm]$\beta$[/mm] ausgeartet?
Man bestimme [mm] K[X]_n [/mm] rechtskomplement (davon steht leider nichts in den Formeln...)
Gruß Cathrine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Auf V:= [mm] K[X]_n [/mm] sei die Bilinearform
ß (f,g):= f(1)g(1) gegeben.
Man bestimme (bzgl. einer zu wählenden Basis von die Strukturmatrix von [mm] K[X]_n. [/mm] Ist ß ausgeartet?
Man bestimme das rechtsothogonal Komplement von [mm] K[X]_n
[/mm]
Natürlich ist das noch nicht überfällig 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathrine!
> ich sitze schon eine halbe Ewigkeit über meinem LA Blatt
> und dem Skript und gerade komme ich gar nicht mehr
> weiter.
> Ich habe mich an der Aufgabe schon ein bisschen
> versucht...
>
> Die Aufgabe lautet:
>
> Auf V:= K[X] (und neben dem X steht noch ein ganz kleines
> n) sei eine Bilinearform
>
> Beta(f,gKevin Kuranyi .
>
> Man bestimme (bzgl. einer zu wählenden Basis von K[X]) die
> Strukturmatrix von Beta.
>
> Ist Beta ausgeartet?
>
> Man bestimme K[X] kleines n rechstorthogonal...
>
> Soweit die Aufgabe.
>
> Ich weiß jetzt nicht, ob man das so machen darf, aber ich
> habe jetzt erstmal mit der Basis angefangen und habe sie
> (alpha1,....,alpha n) gewählt. Was besseres ist mir nicht
> eingefallen.
Das war --denke ich-- konkreter gemeint 
> Als nächstes habe ich mich gefragt, was das mit dem Beta
> (f,g) := f(1)g(1) auf sich hat. Worauf ich immer noch keine
> Antwort weiß.
Okay.
Zunächst sollten wir vielleicht die Definitionen klären.
$V:= [mm] K[X]_n$ [/mm] ist der Vektorraum aller Polynome vom Grad n über dem Körper K.
Damit lassen sich alle Elemente $p$ von [mm] $K[X]_n$ [/mm] so schreiben [mm] $p(x)=a_n*x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+\ldots+a_2*x^2+a_1*x+a_0$, [/mm] wobei [mm] $a_i\in [/mm] K$.
$p(1)$ ist damit einfach: [mm] $p(1)=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1+a_0$.
[/mm]
Die Bilinearform [mm] $\beta$ [/mm] bildet zwei Elemente [mm] $f(x)=a_n*x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+\ldots+a_2*x^2+a_1*x+a_0$ [/mm] und [mm] $g(x)=b_n*x^n+b_{n-1}*x^{n-1}+\ldots+b_2*x^2+b_1*x+b_0$ [/mm] ab auf:
[mm] $\beta(f,g)=f(1)*g(1)=(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1+a_0)*(b_n+b_{n-1}+\ldots+b_2+b_1+b_0)$
[/mm]
Dann vielleicht noch ein paar Worte zu einer (geeigneten) Basis von [mm] $K[X]_n$.
[/mm]
Aus der Darstellung eines Elements von [mm] $K[X]_n$ [/mm] oben sieht man doch recht schnell, dass dieses eine Linearkombination der Polynome [mm] $x^n, x^{n-1},\ldots,x^2,x^1,x^0\in K[X]_n$ [/mm] ist. Ein Vektor [mm] $p(x)=a_n*x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+\ldots+a_2*x^2+a_1*x+a_0$ [/mm] bezüglich dieser Basis hätte dann einfach die Komponenten [mm] $(a_n,a_{n-1},\ldots,a_2,a_1,a_0)$.
[/mm]
Die Strukturmatrix müßte eine quadratische Matrix $S$ (in diesem Fall hat sie die Dimension [mm] $(n+1)\times(n+1)$), [/mm] für die folgendes gilt:
[mm] $\beta(f,g)=f(1)*g(s)=g^t*S*f=(b_n,b_{n-1},\ldots,b_2,b_1,b_0)*\begin{pmatrix}
s_{1,1} & \ldots & s_{1,n+1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
s_{n+1,1} & \ldots & s_{n+1,n+1}
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\\\vdots\\a_2\\a_1\\a_0\end{pmatrix}$
[/mm]
Dies müßte äquivalent sein zu:
[mm]S=\begin{pmatrix}
\beta(x^n,x^n) & \ldots & \beta(x^n,x^0) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\beta(x^0,x^n) & \ldots & \beta(x^0,x^0)
\end{pmatrix}[/mm]
Die Bilinearform heißt --wei du ja sagtest-- ausgeartet, wenn [mm] $\det [/mm] S=0$ ist.
Was nun dieses "rechstorthogonal" oder "rechtskomplement" bedeutet, weiß ich noch nicht, vielleicht weiß es aber jemand anderes hier?
Aber wir müssen ja auch erst das obige lösen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 00:23 So 16.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Es ist in etwa so definiert:
z.B das rechte Orthogonalkomplement von X wäre:
Vor: beta ist eine Sesquilinearform auf V und X eine Teilmenge von V, dann gilt:
{y Element V [mm] \beta(x,y) [/mm] =0 Für alle x Element X}
Vielleicht kann man damit, das rechte Orthogonalkomplement besser verstehen???????????
Danke, Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathrine!
> z.B das rechte Orthogonalkomplement von X wäre:
>
> Vor: beta ist eine Sesquilinearform auf V und X eine
> Teilmenge von V, dann gilt:
>
> {y Element V [mm] \beta(x,y) [/mm] =0 Für alle x Element X}
>
> Vielleicht kann man damit, das rechte Orthogonalkomplement
> besser verstehen???????????
Ja, schon.
Aber stelle erst mal die Strukturmatrix auf, dann dürfte das oben auch kein Problem mehr sein (hoffe ich , auch für mich, da ich mich nicht so gut damit auskenne).
Viele Grüße,
Marc
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