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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 30.04.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] eine Bilinearform auf [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] \phi(x,y)=-\phi(y,x) [/mm] für alle [mm] $x,y\in\IR^n.$ $\phi$ [/mm] heißt dann schiefsymmetrisch.
a) Zeigen Sie, dass für die Matrix A = [mm] (a_{ij})_{i,j=1,...,n} [/mm] mit [mm] \phi(x,y)=x^TAy [/mm] gilt
[mm] a_{ij}=\begin{cases} 0 & \mbox{falls } i=j \mbox{ } \\ -a_{ji} & \mbox{falls } i\not=j \mbox{ } \end{cases} [/mm] . |
Mir fehlt hier ein wenig der Ansatz, was man zeigen soll. Soll man die Gleichheit der beiden Matrizen [mm] A=(a_{ij}) [/mm] und derjenigen hinter der Fallunterscheidung zeigen?
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moin,
> Mir fehlt hier ein wenig der Ansatz, was man zeigen soll.
> Soll man die Gleichheit der beiden Matrizen [mm]A=(a_{ij})[/mm] und
> derjenigen hinter der Fallunterscheidung zeigen?
Ja, das sollst du zeigen.
Also ist $A$ eine Matrix der Form, dass $x^TAy = [mm] \phi(x,y)$ [/mm] für alle $x,y$ gilt, so muss $A$ genau die in der Fallunterscheidung angegebene Form haben.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Di 01.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich bräuchte noch eine etwas genauere Erklärung, da ich einfach nicht auf die Lösung komme.
Ausgerechnet habe ich zum Beispiel x^TAy, und dann noch -y^TAx, weil [mm] \phi [/mm] schiefsymmetrisch ist.
Dann habe ich beide Matrizen [mm] verglichen:x^TAy=\Phi(x,y)=
[/mm]
[mm] ((x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)...(x_1a_{1n}y_n+...+x_na_{mn}y_n)) [/mm]
und [mm] -y^TAx=-\Phi(y,x)=\Phi(x,y)=((-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)...(-y_1a_{1n}x_n-...-y_na_{mn}x_n)) [/mm]
Jeder Eintrag muss also gleich sein. Aber wie man nun auf die angegebene Fallunterscheidung kommt, weiß ich nicht. Was auffällt ist, dass die Koeffizienten von [mm] a_{ij} [/mm] gleich sind, wenn i=j. Also erster Summand des ersten Eintrages der ersten Matrix ist gleich erster Summand des ersten Eintrages der zweiten Matrix, nur eben mit einem [mm] Minus:-y_1a_{11}x_1=x_1a_{11}y_1
[/mm]
Der Gedanke gleichzusetzen kam mir auch noch, brachte mich aber nicht weiter:
[mm] (-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)=(x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 01.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Könnte mir das bitte noch jemand erklären?
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> Ich bräuchte noch eine etwas genauere Erklärung, da ich
> einfach nicht auf die Lösung komme.
Hallo,
im Grunde bist Du schon dicht dran.
Ich schlage aber erstmal einen vordergründig anderen Weg ein:
ich bin mir ziemlich sicher, daß bereits besprochen wurde, wie man zu einer gegebenen bilinearen Abbildung die Darstellungsmatrix A bzgl einer Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] aufstellt:
Es ist nämlich [mm] A:=(a_i_k) [/mm] mit [mm] a_i_k=\sigma(b_i,b_k)
[/mm]
Hieraus und mit der Def. von "schiefsymmetrisch" hast Du's schnell.
> Ausgerechnet habe ich zum Beispiel x^TAy, und dann noch
> -y^TAx, weil [mm]\phi[/mm] schiefsymmetrisch ist.
> Dann habe ich beide Matrizen [mm]verglichen:x^TAy=\Phi(x,y)=[/mm]
>
> [mm]((x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)...(x_1a_{1n}y_n+...+x_na_{mn}y_n))[/mm]
>
> und
> [mm]-y^TAx=-\Phi(y,x)=\Phi(x,y)=((-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)...(-y_1a_{1n}x_n-...-y_na_{mn}x_n))[/mm]
>
> Jeder Eintrag muss also gleich sein. Aber wie man nun auf
> die angegebene Fallunterscheidung kommt, weiß ich nicht.
> Was auffällt ist, dass die Koeffizienten von [mm]a_{ij}[/mm] gleich
> sind, wenn i=j. Also erster Summand des ersten Eintrages
> der ersten Matrix ist gleich erster Summand des ersten
> Eintrages der zweiten Matrix, nur eben mit einem
> [mm]Minus:-y_1a_{11}x_1=x_1a_{11}y_1[/mm]
>
> Der Gedanke gleichzusetzen kam mir auch noch, brachte mich > Ausgerechnet habe ich zum Beispiel x^TAy, und dann noch
> -y^TAx, weil [mm]\phi[/mm] schiefsymmetrisch ist.
> Dann habe ich beide Matrizen [mm]verglichen:x^TAy=\Phi(x,y)=[/mm]
>
> [mm]((x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)...(x_1a_{1n}y_n+...+x_na_{mn}y_n))[/mm]
>
> und
> [mm]-y^TAx=-\Phi(y,x)=\Phi(x,y)=((-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)...(-y_1a_{1n}x_n-...-y_na_{mn}x_n))[/mm]
Es ist ja [mm] \phi(x,y)=-\phi(y,x).
[/mm]
Das gilt dann ja auch für die n Standardbasisvektoren [mm] e_1,...,e_n.
[/mm]
Betrachte also [mm] \phi(e_i,e_k)=-\phi(e_k,e_i) [/mm] und ziehe Deine Schlüsse.
LG Angela
>
> Jeder Eintrag muss also gleich sein. Aber wie man nun auf
> die angegebene Fallunterscheidung kommt, weiß ich nicht.
> Was auffällt ist, dass die Koeffizienten von [mm]a_{ij}[/mm] gleich
> sind, wenn i=j. Also erster Summand des ersten Eintrages
> der ersten Matrix ist gleich erster Summand des ersten
> Eintrages der zweiten Matrix, nur eben mit einem
> [mm]Minus:-y_1a_{11}x_1=x_1a_{11}y_1[/mm]
>
> aber nicht weiter:
>
> [mm](-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)=(x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 01.05.2012 | | Autor: | triad |
Kann mir auch nochmal jemand erklären warum
[mm] \phi(x,y)=-\phi(y,x) \quad \gdw \quad \phi(x,x)=0
[/mm]
gilt?
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> Kann mir auch nochmal jemand erklären warum
>
> [mm]\phi(x,y)=-\phi(y,x) \quad \gdw \quad \phi(x,x)=0[/mm]
Sicher, dass du nicht nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm] haben möchtest?
Dafür setze einfach $x=y$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Kann mir auch nochmal jemand erklären warum
>
> [mm]\phi(x,y)=-\phi(y,x) \quad \gdw \quad \phi(x,x)=0[/mm]
>
> gilt?
Die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] bekommst Du, wenn Du, wie Angela gesagt hat, y=x wählst.
Zu [mm] "\Leftarrow": [/mm] sei also [mm] \phi(x,x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Für x,y [mm] \in \IR^n [/mm] haben wir dann:
0= [mm] \phi(x+y,x+y)= \phi(x,x)+ \phi(x,y)+ \phi(y,x)+ \phi(y,y)= \phi(x,y)+ \phi(y,x), [/mm] somit ist
[mm] \phi(x,y)=- \phi(y,x)
[/mm]
FRED
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