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| Aufgabe | Es sei $V = [mm] \{p\in\IR[ t ], \deg(p) \le 2\}$ [/mm] der Raum der Polynome von Grad kleinergleich 2. Es sei
[mm] $\phi: V\to V^{\*}, p\mapsto\left[q\mapsto \int_{0}^{1}p(t)*q(t)\ dt\right]$,
[/mm]
wobei [mm] $V^{\*}$ [/mm] den Dualraum von V bezeichnet. $B = [mm] (1,t,t^{2})$ [/mm] und $C = [mm] (1,1+t,1+t+t^{2})$ [/mm] seien zwei Basen von V. Bestimme jeweils die Darstellungsmatrizen bzgl. B und C der folgenden Bilinearformen:
(a) [mm] $\gamma_{1}:V\times V\to\IR, [/mm] (p,q) [mm] \mapsto (\phi(p))(q)$
[/mm]
(b) [mm] $\gamma_{2}:V\times V\to\IR, [/mm] (p,q) [mm] \mapsto (\phi(p'))(q)$ [/mm] |
Hallo!
Ich frage mich, ob es eine "effiziente" Möglichkeit gibt, all diese Berechnungen durchzuführen. Zunächst habe ich die Transformationsmatrizen
[mm] $T_{B}^{C} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1}$ [/mm] (von B nach C),
[mm] $T_{C}^{B} [/mm] = [mm] \pmat{1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1}$ [/mm] (von C nach B),
berechnet. Für die Darstellungmatrix bei (a) erhalte ich bzgl. der Basis B (das ging schnell auszurechnen):
[mm] $M_{B}(\gamma_{1}) [/mm] = [mm] \pmat{1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}}$.
[/mm]
Dann könnte ich [mm] $M_{C}(\gamma_{1})$ [/mm] folgendermaßen berechnen: [mm] $M_{C}(\gamma_{1}) [/mm] = [mm] T_{C}^{B}*M_{B}(\gamma_{1})*T^{C}_{B}$. [/mm] Das ist aber nicht besonders toll mit den Brüchen...
Gibt es da eine bessere Möglichkeit?
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Bei (b): Kann ich irgendwie die Ergebnisse von (a) benutzen? Die "Ableitungsmatrix" bzgl. der Basis B ist ja:
[mm] $M_{B}(p\mapsto [/mm] p') = [mm] \pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0}$,
[/mm]
und es gilt: [mm] $M_{B^{\*}}^{B}(\phi') [/mm] = [mm] M_{B}(\gamma_{2})$. [/mm] Kann ich daraus nicht so etwas folgern wie:
[mm] $M_{B}(\gamma_{2}) [/mm] = [mm] M_{B^{\*}}^{B}(\phi') [/mm] = [mm] M_{B^{\*}}^{B}(\phi)*M_{B}(\phi \to\phi') [/mm] = [mm] M_{B}(\gamma_{1})*M_{B}(\phi \to\phi')$ [/mm] ?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 03.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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