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| Aufgabe | [mm] \Phi_A [/mm] ist die Bilinearform [mm] \Phi_A(x,y)=x^TAy [/mm] für
[mm] A=\pmat{ 0 & a & b \\ a & 0 & a \\ b & a & 0 } [/mm] mit [mm] a,b\in \IR
[/mm]
a) gibt es [mm] a,b\in \IR, [/mm] so dass [mm] \Phi_A [/mm] positiv definit ist?
b) Bestimme alle [mm] a,b\in \IR, [/mm] so dass die Bilinearform nicht ausgeartet ist.
c)Seien a,b [mm] \in \IR, [/mm] so dass die Bilinearform nicht ausgeartet ist.
Bestimme in diesem Fall eine Orthogonalbasis des [mm] \IR^3 [/mm] bezüglich [mm] \Phi_A, [/mm] die [mm] e_1+e_2=(1 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm] enthält |
a) Eine Bilinearform ist positiv definit, wenn [mm] \Phi_A(x,y)=x^TAy> [/mm] 0 ist.
Aber ich weiß nicht wie man das zeigen kann. was ist in dem Fall x und y?
b) Eine Bilinearform ist nicht ausgeartet, wenn A invertierbar ist, also wenn [mm] det(A)\not= [/mm] 0
Dann ist die Bilinearform nicht ausgeartet für alle [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] b\not=0.
[/mm]
Stimmt das so?
c) Die Bilinearform soll nicht ausgeartet sein, also sind alle a und b [mm] \not=0
[/mm]
Eine Orthogonalbasis bestimmt man über die Matrix S, die aus normierten Eigenvektoren besteht. Dür diese gilt: [mm] S^T*S=E
[/mm]
Aber ich verstehe nicht was bedeutet: " die [mm] e_1+e_2=(1 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm] enthält"
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\Phi_A[/mm] ist die Bilinearform [mm]\Phi_A(x,y)=x^TAy[/mm] für
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> [mm]A=\pmat{ 0 & a & b \\
a & 0 & a \\
b & a & 0 }[/mm] mit [mm]a,b\in \IR[/mm]
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> a) gibt es [mm]a,b\in \IR,[/mm] so dass [mm]\Phi_A[/mm] positiv definit ist?
>
> b) Bestimme alle [mm]a,b\in \IR,[/mm] so dass die Bilinearform nicht
> ausgeartet ist.
>
> c)Seien a,b [mm]\in \IR,[/mm] so dass die Bilinearform nicht
> ausgeartet ist.
> Bestimme in diesem Fall eine Orthogonalbasis des [mm]\IR^3[/mm]
> bezüglich [mm]\Phi_A,[/mm] die [mm]e_1+e_2=(1[/mm] 1 [mm]0)^T[/mm] enthält
> a) Eine Bilinearform ist positiv definit, wenn
> [mm]\Phi_A(x,y)=x^TAy>[/mm] 0 ist.
>
> Aber ich weiß nicht wie man das zeigen kann. was ist in
> dem Fall x und y?
Sollte das nicht [mm]x^TA\red{x}>0[/mm] heißen mit [mm]x\in\IR^3, x\neq 0[/mm]
Ich denke, dieses Kriterium ist blöd nachzurechnen, zumindest sehe *ich* so auf die Schnelle damit keine gute Lösung - was aber nix heißt ...
Ich würde mal das Hauptminorenkrit. hernehmen.
Eine symm. Matrix ist genau dann pos. definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
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> b) Eine Bilinearform ist nicht ausgeartet, wenn A
> invertierbar ist, also wenn [mm]det(A)\not=[/mm] 0
>
> Dann ist die Bilinearform nicht ausgeartet für alle
> [mm]a\not=0[/mm] und [mm]b\not=0.[/mm]
> Stimmt das so?
Darauf komme ich auch.
Schöner wär's, wenn du mal immer aufschreibst, wie du zu deinen Ergebnissen kommst; es kann ja nicht der Sinn des Forums sein, dass wir alles selber rechnen ...
>
> c) Die Bilinearform soll nicht ausgeartet sein, also sind
> alle a und b [mm]\not=0[/mm]
>
> Eine Orthogonalbasis bestimmt man über die Matrix S, die
> aus normierten Eigenvektoren besteht. Dür diese gilt:
> [mm]S^T*S=E[/mm]
> Aber ich verstehe nicht was bedeutet: " die [mm]e_1+e_2=(1[/mm] 1
> [mm]0)^T[/mm] enthält"
Naja, es soll [mm]\vektor{1\\
1\\
0}[/mm] einer der Basisvektoren sein ...
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> MfG
> Mathegirl
>
Gruß
schachuzipus
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