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Guten Morgen zusammen,
ich arbeite mich grad etwas in das Thema Bilinearform ein und würde gerne ein paar Def. bzw Eigenschaften reinschreiben, und wissen, ob ich das so richtig verstanden habe ; )
Eine Bilinearform
- ist eine (lineare) Abbildung
- besitzt Bilinearität (eine Eigenschaft des Skalarprodukts)
Daraus folgere ich , dass jedes Skalarprodukt eine Bilinearform ist.
- man geht von einem Kreuzprodukt zweier Vektorräume in ein Skalar über, also
v [mm] \in [/mm] V w [mm] \in [/mm] W
F: V x W : (v,w) [mm] \to [/mm] <v,w> (Körper)
- symmetrisch, wenn gilt F(v,w) = F(w,v)
-schiefsymmetrisch wenn F(v,w) = -F(w,v)
-alternierend wenn F(v,v) = 0
(alle zusammen ist dann denke ich ein Skalarprodukt definiert)
- Die Darstellungsmatrix ist ja die sog. Gramsche Matrix.
Ist das soweit richtig bzw gibt es weiter wichtige oder nützliche Sachen über die Bilinearform zu wissen?
Mfg,
Evelyn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 So 12.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Evelyn
> Guten Morgen zusammen,
>
> ich arbeite mich grad etwas in das Thema Bilinearform ein
> und würde gerne ein paar Def. bzw Eigenschaften
> reinschreiben, und wissen, ob ich das so richtig verstanden
> habe ; )
Eine Bilinearform ist eine Abbildung [mm]B:V\times W\mapsto K[/mm] mit folgenden vier Eigenschaften:
([mm]v_{i}\in V, w_{i}\in W, \lambda\in K[/mm])
[mm]\langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle[/mm]
[mm]\langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle[/mm]
[mm]\langle \lambda v,w\rangle=\lambda\langle v,w\rangle[/mm]
[mm]\langle v,\lambda w\rangle=\langle v,w \rangle \lambda[/mm]
Diese Grundeigenschaften erfüllt jede Bilinearform.
>
> Eine Bilinearform
>
> - ist eine (lineare) Abbildung
Das ist etwas unglücklich formuliert, jede Bilinearform definiert eine lineare Abbildung, es ist aber keine lineare Abb.
> - besitzt Bilinearität (eine Eigenschaft des
> Skalarprodukts)
Das ist irgendwie eine Tautologie. 
> Daraus folgere ich , dass jedes Skalarprodukt eine
> Bilinearform ist.
Nein, auf [mm] \IC [/mm] gibt es Skalarprodukte, die eine Sesquilinearform sind.
Für diese gilt:
[mm] $S:V\times W\mapsto \IC$ [/mm]
[mm] $\langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle$
[/mm]
[mm] $\langle \lambda [/mm] v, [mm] w\rangle=\overline\lambda\langle v,w\rangle$
[/mm]
[mm] $\langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle$
[/mm]
[mm] $\langle v,\lambda w\rangle=\lambda\,\langle v,w\rangle$.
[/mm]
Diese Abblidung ist semiliniear in der ersten Komponente, aber linera in der zweiten.
>
> - man geht von einem Kreuzprodukt zweier Vektorräume in
> ein Skalar über, also
> v [mm]\in[/mm] V w [mm]\in[/mm] W
>
> F: V x W : (v,w) [mm]\to[/mm] <v,w> (Körper)
Das ist korrekt.
>
> - symmetrisch, wenn gilt F(v,w) = F(w,v)
> -schiefsymmetrisch wenn F(v,w) = -F(w,v)
> -alternierend wenn F(v,v) = 0
Das ist korrekt so.
>
> (alle zusammen ist dann denke ich ein Skalarprodukt
> definiert)
Jein, jesdes Skalarprodukt auf [mm] \IR [/mm] ist eine Bilinearform, sogar eine symmetrische, positiv definite.
Ist der Vektorraum V aber komplex, ist das Skalarprodukt dann eine Sesquilinearform.
>
> - Die Darstellungsmatrix ist ja die sog. Gramsche Matrix.
Das ist korrekt so.
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> Ist das soweit richtig bzw gibt es weiter wichtige oder
> nützliche Sachen über die Bilinearform zu wissen?
>
>
> Mfg,
>
>
> Evelyn
Marius
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