Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Fr 30.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der symm.Matrizen in [mm] M_{22}(\IR) [/mm]. Sei [mm] q: V \to \IR [/mm] definiert durch [mm] q(A)=det(A) [/mm] für alle A.
Beweisen Sie, dass q eine quadratische Form auf V ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich denke mir Folgendes: Sei [mm] A=\pmat{a_1&a_2\\a_3&a_4} [/mm].
Muss ich hier zeigen, dass wenn ich A in 2 Spalten aufteile (als Vektoren) und diese dann mit einer Bilinearform [mm] \beta(v_1,v_1)=det.. , \beta(v_1,v_2)=det.. , \beta(v_2,v_1)=det.. , \beta(v_2,v_2)=det.. [/mm] abbilde, wieder eine symm.Matrix rauskommt ?
Was ist denn eine quadratische Form auf V ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Fr 30.05.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Susanne!
> Sei V der Vektorraum der symm.Matrizen in [mm]M_{22}(\IR) [/mm]. Sei
> [mm]q: V \to \IR[/mm] definiert durch [mm]q(A)=det(A)[/mm] für alle A.
>
> Beweisen Sie, dass q eine quadratische Form auf V ist.
> Was ist denn eine quadratische Form auf V ?
Das sollte man allerdings klären, bevor man sich mit der Aufgabe befaßt. Solange keine andere Def. vorliegt, würde ich sagen [mm] q(\lambda*v) [/mm] = [mm] \lambda^{2}*q(v).
[/mm]
Über Körpern der Charakteristik [mm] \not= [/mm] 2 hängen quadratische Formen und symm. Bilinearformen eng zusammen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 30.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> Aufgabe befaßt. Solange keine andere Def. vorliegt, würde
> ich sagen [mm]q(\lambda*v)[/mm] = [mm]\lambda^{2}*q(v).[/mm]
Es liegt keine andere Definition vor und deshalb probiere ich es jetzt mal so:
Sei [mm] A=\pmat{a_1&a_2\\a_3&a_4} [/mm] und [mm] \lambda \in K [/mm]
[mm] det(\lambda (A) ) = \lambda^2 a_1a_4 - \lambda^2 a_2a_3 = \lambda^2 (a_1a_4-a_2a_3) = \lambda^2 q(A) [/mm]
was zu beweisen war.
Geht das so ?
> Über Körpern der Charakteristik [mm]\not=[/mm] 2 hängen quadratische
> Formen und symm. Bilinearformen eng zusammen.
Was heisst denn bitte "der Charakteristik [mm]\not=[/mm] 2" ?
Vielen dank !
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Fr 30.05.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Es liegt keine andere Definition vor und deshalb probiere
> ich es jetzt mal so:
> Sei [mm]A=\pmat{a_1&a_2\\a_3&a_4}[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm]
>
> [mm]det(\lambda (A) ) = \lambda^2 a_1a_4 - \lambda^2 a_2a_3 = \lambda^2 (a_1a_4-a_2a_3) = \lambda^2 q(A)[/mm]
> was zu beweisen war.
>
> Geht das so ?
Vielleicht noch etwas detaillierter:
[mm] q(\lambda*A) [/mm] = [mm]det(\lambda*A) = \lambda^2 a_1a_4 - \lambda^2 a_2a_3 = \lambda^2 (a_1a_4-a_2a_3) = \lambda^2 q(A)[/mm]
> > Über Körpern der Charakteristik [mm]\not=[/mm] 2 hängen quadratische
> > Formen und symm. Bilinearformen eng zusammen.
> Was heisst denn bitte "der Charakteristik [mm]\not=[/mm] 2" ?
Spätestens in Algebra wirst du lernen, daß es Körper gibt, in denen 2 = 0 ist. Das sind dann welche mit Charakteristik = 2. Der Ring Z/2Z ist auch so einer.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Fr 30.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
vielen Dank für die Erklärung !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Sa 31.05.2008 | | Autor: | statler |
> Hallo Susanne!
>
> > Sei V der Vektorraum der symm.Matrizen in [mm]M_{22}(\IR) [/mm]. Sei
> > [mm]q: V \to \IR[/mm] definiert durch [mm]q(A)=det(A)[/mm] für alle A.
> >
> > Beweisen Sie, dass q eine quadratische Form auf V ist.
>
> > Was ist denn eine quadratische Form auf V ?
>
> Das sollte man allerdings klären, bevor man sich mit der
> Aufgabe befaßt. Solange keine andere Def. vorliegt, würde
> ich sagen [mm]q(\lambda*v)[/mm] = [mm]\lambda^{2}*q(v).[/mm]
Nachtrag: Zusätzlich wird noch gefordert, daß q(x+y) - q(x) - q(y) eine (symm.) Bilinearform ist.
>
> Über Körpern der Charakteristik [mm]\not=[/mm] 2 hängen quadratische
> Formen und symm. Bilinearformen eng zusammen.
>
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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