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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 24.06.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] \beta [/mm] eine positiv definite, symmetrische [mm] [\beta(x,y)=\beta(y,x)] [/mm] Bilinearform auf [mm] \IR^2. [/mm] q sei die quadratische Form: [mm] [q(x)=\beta(x,x)].
[/mm]
Sei [mm] Q:=\{x\in\IR^2: q(x)=1\}
[/mm]
Für [mm] a\in [/mm] Q fest sei für alle [mm] b\in\IR^2 [/mm] folgende Geradenschar gegeben:
[mm] g_b:=\{x\in\IR^2:x=a+tb,t\in\IR\}
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass [mm] g_b \cap Q=\{a\} \gdw \beta(a,b)=0. [/mm] |
Hi,
so lautet die Aufgabe und ich habe nicht einmal eine Idee, wie ich das zeigen könnte. Jeglicher Ansatz fehlt.
Hat von euch vielleicht jemand eine Ahnung und kann mir helfen?! Wäre sehr nett.
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Sei [mm]\beta[/mm] eine positiv definite, symmetrische
> [mm][\beta(x,y)=\beta(y,x)][/mm] Bilinearform auf [mm]\IR^2.[/mm] q sei die
> quadratische Form: [mm][q(x)=\beta(x,x)].[/mm]
>
> Sei [mm]Q:=\{x\in\IR^2: q(x)=1\}[/mm]
>
> Für [mm]a\in[/mm] Q fest sei für alle [mm]b\in\IR^2[/mm] folgende
> Geradenschar gegeben:
>
> [mm]g_b:=\{x\in\IR^2:x=a+tb,t\in\IR\}[/mm]
>
> Es soll gezeigt werden, dass [mm]g_b \cap Q=\{a\} \gdw \beta(a,b)=0.[/mm]
>
> Hi,
>
> so lautet die Aufgabe und ich habe nicht einmal eine Idee,
> wie ich das zeigen könnte. Jeglicher Ansatz fehlt.
Aber es ist Dir klar, welche anschauliche Bedeutung dies alles hat?
[mm]Q[/mm] ist z.B. eine Ellipse (in der durch [mm]\beta[/mm] definierten Merik allerdings sogar der Einheitskreis!). [mm]a[/mm] ist ein Punkt auf (dem Rand) der Ellipse. Die Behauptung ist, dass [mm]g_b[/mm] genau dann eine Tangente an [mm]Q[/mm] ist (denn dann und nur dann hat sie nur den Punkt [mm]a[/mm] mit [mm]Q[/mm] gemeinsam), wenn der Richtungsvektor [mm]b[/mm] der Geraden [mm]g_b[/mm] "im Sinne des durch [mm]\beta[/mm] definierten Skalarproduktes" auf [mm]a[/mm] "senkrecht" steht. Vergleiche diese Situation mit dem Fall, dass [mm]\beta[/mm] das Standardskalarprodukt und [mm]Q[/mm] der Einheitskreis ist. Versuche die Überlegung von diesem Fall auf den Fall mit [mm]\beta[/mm] zu übertragen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 24.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
okay, anschaulich ist mir das klar. Aber ich weiß nicht, wie ich das formal zeigen soll? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG
barsch
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> Hi,
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> okay, anschaulich ist mir das klar. Aber ich weiß nicht,
> wie ich das formal zeigen soll?
Also: Die Bedingung dafür, dass ein Punkt von [mm]g_b[/mm] in [mm]Q[/mm] liegt ist doch, dass es ein [mm]t\in\IR[/mm] gibt, so dass gilt:
[mm]\beta(a+t\cdot b, a+t\cdot b)=1[/mm]
Nun benutzt Du, dass [mm]\beta[/mm] bilinear ist und dass [mm]a\in Q[/mm] liegt, das heisst, dass [mm]\beta(a,a)=1[/mm] ist. So erhältst Du, dass [mm]t[/mm] die folgende Gleichung erfüllen muss:
[mm]t^2\cdot \beta(b,b)+2t\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
Eine Lösung ist natürlich [mm]t=0[/mm], aber dies wussten wir schon: [mm]a\in Q[/mm]. Die Frage ist, unter welcher Bedingung es eine zweite Lösung [mm]t\neq 0[/mm] gibt.
Dies wäre also eine Lösung der Gleichung:
[mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
Unter welcher Bedingung für [mm]\beta(a,b)[/mm] hat nun diese Gleichung keine Lösung [mm]t\neq 0[/mm]? ... Na? ... Genau! ... was zu beweisen war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 24.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hey,
erst einmal ein großes Dankeschön.
> > Hi,
> >
> > okay, anschaulich ist mir das klar. Aber ich weiß nicht,
> > wie ich das formal zeigen soll?
>
> Also: Die Bedingung dafür, dass ein Punkt von [mm]g_b[/mm] in [mm]Q[/mm]
> liegt ist doch, dass es ein [mm]t\in\IR[/mm] gibt, so dass gilt:
> [mm]\beta(a+t\cdot b, a+t\cdot b)=1[/mm]
> Nun benutzt Du, dass
> [mm]\beta[/mm] bilinear ist und dass [mm]a\in Q[/mm] liegt, das heisst, dass
> [mm]\beta(a,a)=1[/mm] ist. So erhältst Du, dass [mm]t[/mm] die folgende
> Gleichung erfüllen muss:
> [mm]t^2\cdot \beta(b,b)+2t\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
> Eine Lösung ist
> natürlich [mm]t=0[/mm], aber dies wussten wir schon: [mm]a\in Q[/mm]. Die
> Frage ist, unter welcher Bedingung es eine zweite Lösung
> [mm]t\neq 0[/mm] gibt.
> Dies wäre also eine Lösung der Gleichung:
> [mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
> Unter welcher
> Bedingung für [mm]\beta(a,b)[/mm] hat nun diese Gleichung keine
> Lösung [mm]t\neq 0[/mm]? ... Na? ... Genau! ... was zu beweisen
> war.
>
Sorry, wenn ich mich etwas ungeschickt anstelle bei dieser Aufgabe, aber...
Die
> Frage ist, unter welcher Bedingung es eine zweite Lösung
> [mm]t\neq 0[/mm] gibt.
> Dies wäre also eine Lösung der Gleichung:
> [mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
> Unter welcher
> Bedingung für [mm]\beta(a,b)[/mm] hat nun diese Gleichung keine
> Lösung [mm]t\neq 0[/mm]? ... Na? ... Genau! ... was zu beweisen
> war.
>
Ich soll zeigen, dass
[mm] g_b \cap [/mm] Q = {a} [mm] \gdw \beta(a,b)=0.
[/mm]
[mm] t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0
[/mm]
wenn jetzt [mm] \beta(a,b)=0
[/mm]
dann folgt:
[mm] t\cdot \beta(b,b)=0
[/mm]
und was zeigt mir das jetzt?
Sorry...
MfG
barsch
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> Hey,
>
> erst einmal ein großes Dankeschön.
>
> > > Hi,
> > >
> > > okay, anschaulich ist mir das klar. Aber ich weiß nicht,
> > > wie ich das formal zeigen soll?
> >
> > Also: Die Bedingung dafür, dass ein Punkt von [mm]g_b[/mm] in [mm]Q[/mm]
> > liegt ist doch, dass es ein [mm]t\in\IR[/mm] gibt, so dass gilt:
> > [mm]\beta(a+t\cdot b, a+t\cdot b)=1[/mm]
> > Nun benutzt Du,
> dass
> > [mm]\beta[/mm] bilinear ist und dass [mm]a\in Q[/mm] liegt, das heisst, dass
> > [mm]\beta(a,a)=1[/mm] ist. So erhältst Du, dass [mm]t[/mm] die folgende
> > Gleichung erfüllen muss:
> > [mm]t^2\cdot \beta(b,b)+2t\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
> > Eine
> Lösung ist
> > natürlich [mm]t=0[/mm], aber dies wussten wir schon: [mm]a\in Q[/mm]. Die
> > Frage ist, unter welcher Bedingung es eine zweite Lösung
> > [mm]t\neq 0[/mm] gibt.
> > Dies wäre also eine Lösung der Gleichung:
> > [mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
> > Unter welcher
> > Bedingung für [mm]\beta(a,b)[/mm] hat nun diese Gleichung keine
> > Lösung [mm]t\neq 0[/mm]? ... Na? ... Genau! ... was zu beweisen
> > war.
> >
>
> Sorry, wenn ich mich etwas ungeschickt anstelle bei dieser
> Aufgabe, aber...
>
> Die
> > Frage ist, unter welcher Bedingung es eine zweite Lösung
> > [mm]t\neq 0[/mm] gibt.
> > Dies wäre also eine Lösung der Gleichung:
> > [mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
> > Unter welcher
> > Bedingung für [mm]\beta(a,b)[/mm] hat nun diese Gleichung keine
> > Lösung [mm]t\neq 0[/mm]? ... Na? ... Genau! ... was zu beweisen
> > war.
> >
>
> Ich soll zeigen, dass
>
> [mm]g_b \cap[/mm] Q = {a} [mm]\gdw \beta(a,b)=0.[/mm]
>
> [mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
>
> wenn jetzt [mm]\beta(a,b)=0[/mm]
>
> dann folgt:
> [mm]t\cdot \beta(b,b)=0[/mm]
Nein, das folgt nicht, denn [mm]\beta[/mm] ist ja positiv-definit. Daher kann [mm]\beta(b,b)[/mm] nicht =0 sein, ausser es wäre [mm]b=0[/mm] (der Nullvektor). Dies dürfen wir aber ausschiessen, denn in diesem Falle wäre [mm]g_b[/mm] gar keine Gerade sonder nur ein Punkt (der Punkt [mm]a[/mm]).
> und was zeigt mir das jetzt?
Du weisst, welches Kriterium für das Nicht-Existieren eines zweiten Punktes in [mm]g_b\cap Q[/mm] (ausser dem aus der Lösung [mm]t=0[/mm] resultierenden [mm]a[/mm]) bewiesen werden soll.
Gehen wir also zurück zur fraglichen Gleichung:
[mm]t\cdot \beta(b,b)+2\cdot \beta(a,b)=0[/mm]
Da wir wie erwähnt [mm]\beta(b,b)\neq 0[/mm] annehmen dürfen, kann diese lineare Gleichung für [mm]t[/mm] stets aufgelöst werden. Es muss
[mm]t=-\frac{2\beta(a,b)}{\beta(b,b)}[/mm]
sein. Dieses [mm]t[/mm] ist genau dann =0, wenn [mm]\beta(a,b)=0[/mm] ist. Das heisst, die Schnittgleichung für [mm]g_b\cap Q[/mm] hat genau dann nur die einzige Lösung [mm]t=0[/mm], wenn [mm]\beta(a,b)=0[/mm] ist. Was zu beweisen war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 24.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
keine Angst, es kommt jetzt keine weitere Frage 
Vielen, vielen Dank für die ausführliche Erklärung; es war mir fast schon unangenhem, die letzte Frage auch noch zu stellen. Aber durch deine Antwort auf diese Frage ist mir die Vorgehensweise klar geworden.
Danke...
MfG
barsch
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