Bilinear, darstellende Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Do 26.04.2007 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR [/mm] Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3. Zeigen sie dass die Abb.
[mm] b:VxV\to \IR [/mm]
[mm] (f,g)\mapsto [/mm] f(1)g(0) bilinear ist
und berechnen Sie die darstellende Matrix btgl. der Basis [mm] {1,x,x^{2},x^{3}} [/mm] |
Hallo,
also so wirklich versteh ich hier nicht was bzw. von was ich hier die Bilinearität zeigen soll. Was ist denn mit dem Polynom gemeint.
Kann hier mir jemand helfen, und Licht ins dunkel bringen?
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Hallo ttgirltt!
> Sei V ein [mm]\IR[/mm] Vektorraum der reellen Polynome vom Grad
> höchstens 3. Zeigen sie dass die Abb.
> [mm]b:VxV\to \IR[/mm]
> [mm](f,g)\mapsto[/mm] f(1)g(0) bilinear ist
> und berechnen Sie die darstellende Matrix btgl. der Basis
> [mm]{1,x,x^{2},x^{3}}[/mm]
> Hallo,
> also so wirklich versteh ich hier nicht was bzw. von was
> ich hier die Bilinearität zeigen soll. Was ist denn mit dem
> Polynom gemeint.
Du hast eine Abbildung b. Diese Abbildung bildet von [mm] $V\times [/mm] V$ nach [mm] \IR [/mm] ab. Das heißt, du kannst dieser Abbildung zwei Elemente von V geben (also hier zwei relle Polynome vom Grad höchstens 3), und erhältst als "Ergebnis" der Abbildung eine reelle Zahl. Naja, und welche Zahl erhältst du? Du erhältst das Produkt von f(1) und g(0), wenn du die Funktionen f und g als "Input" an b gegeben hast. Wenn du also z. B. nimmst: [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)=2x^3, [/mm] dann erhälst du: [mm] b(f,g)=f(1)g(0)=1^2*(2*0^3)=0. [/mm] Einfach mal so als willkürliches Beispiel.
Ist es nun klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 28.04.2007 | | Autor: | cursoer |
Hallo!
Also das mit dem Beweis, dass die Abbildung bilinear ist, bekomme ich glaube ich gerade noch so hin... aber wie sieht es dann mit der darstellenden Matrix aus? Sei die Basis { [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} [/mm] } = {1, x, x², x³}
Bin ich dann soweit richtig dass die Matrix folgendermaßen aussieht?
[mm] \pmat{ b(v_{1},v_{1}) & \cdots & b(v_{1},v_{4}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b(v_{4},v_{1}) & \cdots & b(v_{4},v_{4}) }
[/mm]
Aber was ist nun dieses [mm] b(v_{1},v_{1}) [/mm] bis [mm] b(v_{4},v_{4})? [/mm] Ich komme irgendwie mit dieser Abbildung nicht klar...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo!
> Also das mit dem Beweis, dass die Abbildung bilinear ist,
> bekomme ich glaube ich gerade noch so hin... aber wie sieht
> es dann mit der darstellenden Matrix aus? Sei die Basis {
> [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = {1, x, x², x³}
>
> Bin ich dann soweit richtig dass die Matrix folgendermaßen
> aussieht?
>
> [mm]\pmat{ b(v_{1},v_{1}) & \cdots & b(v_{1},v_{4}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b(v_{4},v_{1}) & \cdots & b(v_{4},v_{4}) }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das ist richtig.
> Aber was ist nun dieses [mm]b(v_{1},v_{1})[/mm] bis [mm]b(v_{4},v_{4})?[/mm]
> Ich komme irgendwie mit dieser Abbildung nicht klar...
Du mußt bedenken, daß Deine Basisvektoren Funktionen sind.
Vielleicht wird die Sache etwas einfacher, wenn wir die Basisvektoren umtaufen zu:
[mm] v_1:=f_1 [/mm] mit [mm] f_1(x)=1
[/mm]
[mm] v_2:=f_2 [/mm] mit [mm] f_2(x)=x
[/mm]
[mm] v_3:=f_3 [/mm] mit [mm] f_3(x)=x^2
[/mm]
[mm] v_4:=f_4 [/mm] mit [mm] f_4(x)=x^3
[/mm]
Was ist nun z.B. [mm] b(f_{1},f_{3})?
[/mm]
Die Zuordnungsvorschrift lautet ja: erste Funktion an der Stelle 0 multiplizieren mit der zweiten Funktion an der Stelle 1.
[mm] b(f_{1},f_{3})=f_{1}(1)f_{3}(0)=1*0^2=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 29.04.2007 | | Autor: | cursoer |
Aja... Danke! Ich glaub ich weiß jetzt wie es geht. :)
Die Matrix müsste dann doch folgendermaßen aussehen, oder?
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die besten Grüße, Cursoer
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Hallo Cursoer,
> Aja... Danke! Ich glaub ich weiß jetzt wie es geht. :)
> Die Matrix müsste dann doch folgendermaßen aussehen,
> oder?
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Die besten Grüße, Cursoer
Sieht gut aus 
Gruß
schachuzipus
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