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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Sa 01.09.2007 | | Autor: | pusteblume86 |
Und nochmal;)
Also ich habe einen K-Vektorraum V mit Basis [mm] v_1,v_2,......,v_n
[/mm]
und eine Koordinatenabbildung f:V-> [mm] V_n(K)
[/mm]
dann soll für jede Matrix B [mm] \in M_n(K) [/mm] gelten: <u,w> = [mm] f(u)^t [/mm] B f(w)
So: Gilt das nur für das Standrdskalarprodukt?(Dann kann man es sich jedenfalls gut klarmachen)
Nun geht es aber um: B [mm] \in M_n(K) [/mm] invertierbar <=> <u,w> nicht-degeneriert
Wie lässt sich das beweisen?
Ich habe mir fogendes überlegt: "=>"
Nicht-degeneriert heißt ja, dass kein w [mm] \in [/mm] V existiert , sodass <u,w> = 0 für alle v [mm] \in [/mm] V.
Das heißt also ja, dass dann [mm] f(u)^t [/mm] B f(w) [mm] \not= [/mm] 0 sein muss.
Sei also <u,w> nicht Nicht-Degeneriert=> <u,w> =0 => [mm] f(u)^t [/mm] B f(w) =0
=> [mm] f(u)^t [/mm] B f(w) [mm] f^{-1}(w) [/mm] = [mm] 0*f^{-1}=>f(u)^t [/mm] B = [mm] (Nullvektor)^t=> [f^{-1}(u)]^t [/mm] B = [mm] [f^{-1}(u)]^t *(Nullvektor)^t [/mm] => B= Nullmatrix => nicht invertierbar
Kann man dann daraus schließen, dass wenn <u,w> Nicht-Degeneriert ist, dass es dann invertierbar ist?
Kann mir jemand helfen?
Schönen Sonntag wünsch ich euch fleißigen Helfern..
Lg Sandra
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Hallo, Sandra!
> Also ich habe einen K-Vektorraum V mit Basis
> [mm]v_1,v_2,......,v_n[/mm]
> und eine Koordinatenabbildung f:V-> [mm]V_n(K)[/mm]
>
> dann soll für jede Matrix B [mm]\in M_n(K)[/mm] gelten: <u,w> =
> [mm]f(u)^t[/mm] B f(w)
>
> So: Gilt das nur für das Standrdskalarprodukt?(Dann kann
> man es sich jedenfalls gut klarmachen)
Diese Frage verstehe ich leider nicht. Im Allgemeinen handelt es sich bei dem obigen um gar kein Skalarprodukt, sondern nur um eine Bilinearform. Und diese wird einfach wie oben definiert.
Ansonsten einfach noch einmal die Frage (für mich) etwas verständlicher stellen 
> Nun geht es aber um: B [mm]\in M_n(K)[/mm] invertierbar <=> <u,w>
> nicht-degeneriert
> Ich habe mir fogendes überlegt: "=>"
> Sei also <u,w> nicht Nicht-Degeneriert => (...) => nicht invertierbar
Dein Ansatz sieht mir sehr verdächtig aus. Du "multiplizierst" beide Seiten der Gleichungen mit einem Element aus dem Vektorraum V, auf der rechten Seite der Gleichung handelt es sich um eine Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor und auf linken Seite um die Verknüpfung zweier Funktionen!
Außerdem wird im nächsten Schritt auf der rechten Gleichungsseite aus einem Skalar ein Vektor :-(
> Kann man dann daraus schließen, dass wenn <u,w>
> Nicht-Degeneriert ist, dass es dann invertierbar ist?
Wir nehmen einmal an, dass dein Beweis richtig ist. Dann hättest du genau die andere Richtung gezeigt, nämlich, dass aus invertierbar Nicht-Degeniert folgt.
Machen wir dazu mal ein Beispiel. Wir wissen, dass wenn es regnet, die Straße nass ist, also wissen wir auch, dass wenn die Straße nicht naß ist, dass es dann nicht geregnet hat. Denn hätte es geregnet, dann wäre auch die Straße nass. Sie ist aber nicht nass. Mach' dir klar, dass die Aussagen äquivaltent sind.
Wir wissen aber noch lange nicht, dass wenn es nicht regnet, die Straße nicht nass ist. Ich könnte ja auf die Idee kommen, die Straße zu gießen
Ich will dich jetzt aber nicht im Regen oder auf nassen Straßen stehen lassen, sondern dir meine Beweisidee zeigen. Falls etwas unklar oder falsch ist, einfach nachhaken
Also sei die Bilinearform wie oben definiert. Sei also $B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K)$ invertierbar. Wir wollen zeigen, dass die BF nicht degeneriert ist. Sei $w [mm] \in [/mm] V$. Es sei $<u,w> = 0 [mm] \quad \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U$. Wir betrachten
[mm] $$
[mm] $$
und so weiter. Wir erhalten also insgesamt das Gleichungssystem
[mm] $$\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix} [/mm] * f(w) = 0$$
Da $B$ laut Voraussetzung aber invertierbar ist, enthält der Kern nur den Nullvektor und es gilt $f(w) = 0 [mm] \gdw [/mm] w = 0$. Somit ist diese Richtung gezeigt.
Nun zur Rückrichtung. Sei die BF nicht degeniert. Wir wollen zeigen, dass $B$ invertierbar ist. Es reicht zu zeigen, dass der Kern nur den Nullvektor enthält. Sei also $w [mm] \ne [/mm] 0$. Dann [mm] $\exists [/mm] u [mm] \ne [/mm] 0$, sodass [mm] $f(u)^t [/mm] * B * f(w) = <u, w> [mm] \ne [/mm] 0$. Also gilt erst recht $B * f(w) [mm] \ne [/mm] 0$ und damit $f(w) [mm] \notin [/mm] Kern(B)$. Da $f$ bijektiv ist, ist $B$ somit invertierbar.
> Schönen Sonntag wünsch ich euch fleißigen Helfern..
Danke! Dir auch noch eine schönen Abend.
Gruß,
Stephan
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danke für die ausfürhliche Antwort!!
Hier habe ich noch eine Frage: Wie kom mt man zu: $ [mm]
Denn das [mm] e_1 [/mm] muss ja dann hier [mm] f(v_1)^t [/mm] sein, wobei f diese Koordinatenabbildung ist..Aber da verstehe ich den Zusammenhang nicht;(
Lg Sandra
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Hallo!
[mm] $e_1$ [/mm] ist bei mir ein Zeilenvektor, das hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen. Ich mache diesen Schritt noch einmal ein weniger ausführlicher
Sei [mm] $(v_1, \ldots, v_n)$ [/mm] wieder unsere Basis von $V$. Dann ist doch $f: V [mm] \to K^n$ [/mm] folgendendermaßen defniert: $v = [mm] \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i \mapsto \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$. [/mm] Dementsprechend gilt für [mm] $v_1 [/mm] = 1 * [mm] v_1 [/mm] + 0 * [mm] v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0 * [mm] v_n$ $f(v_1)^t [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}^t$. [/mm] Anschließend habe ich nur noch die Vektor-Matrixmultiplikation ausgeführt.
Ich hoffe, die Schritte sind dir jetzt etwas klarer geworden.
Gruß!
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