Bildung der Umkehrfunktion? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 13.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wenn ich die Funktion g:(0, [mm] \bruch{\pi}{2})\to \IR:x\mapsto\wurzel{cosx}
[/mm]
wie komme ich hier zur Umkehrfunktion? Bitte eine schrittweise Erklärung!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Di 13.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, wenn ich die Funktion g:(0, [mm]\bruch{\pi}{2})\to \IR:x\mapsto\wurzel{cosx}[/mm]
>
> wie komme ich hier zur Umkehrfunktion? Bitte eine
> schrittweise Erklärung!
>
> lg Surfer
die Funktion ist so gar nicht umkehrbar (da nicht surjektiv). Du kannst Dir aber überlegen:
[mm] $g\left(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\right)=(0,1)$
[/mm]
Dann überlege Dir:
$f: [mm] \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \to [/mm] (0,1)$ mit $f(x):=g(x)$ für $x [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] ist bijektiv. Und die zu $f$ gehörige Umkehrfunktion
[mm] $f^{-1}: [/mm] (0,1) [mm] \to \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
erhälst Du so:
Für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ suchen wir das eindeutig bestimmte $y [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] mit [mm] $x=f(y)=\sqrt{\cos(y)}$.
[/mm]
Aus der letzten Gleichung erhälst Du dann das gesuchte $y$, wenn Du diese zunächst quadrierst und danach dann den [mm] $\arccos(.)$ [/mm] anwendest.
Meinetwegen auch mal an einem Beispiel:
[mm] $x=\sqrt{0,5} \Rightarrow f^{-1}(0,5)=\arccos(0,5)=\pi/3$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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