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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Fr 11.05.2018 | | Autor: | Hela123 |
| Aufgabe | Wir ziehen [mm]n\in\IN[/mm] mal mit zurücklegen aus einer Urne mit [mm]m\in\IN[/mm] unterscheidbaren Kugeln und beachten die Reihenfolge.
a) Gebe einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] an, der diesen Experiment beschreibt.
b) Gebe eine Zufallsvariable [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n][/mm] an, die den Ausgang des Experiments auf die Anzahl der Fälle abbildet in denen die gezogene Kugel gerade erst zurückgelegt wurde.
c) Gebe das Bildmaß [mm]P_x[/mm] an indem du für [mm]k\in [1:n-1][/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm]P(X=k):=P_x(\{k\}):=P(X^{-1}(\{k\}))[/mm] ausrechnest.
Gebe für n=3, m=2 und k=1 das Ereignis [mm]X^{-1}(\{k\})[/mm] und [mm]P(X=k)[/mm] explizit an. |
Hallo Forum,
hier sind erstmal meine Überledungen zur Aufgabe:
a)
[mm]\Omega = [1:m]^n[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)
Ist es korrekt?
b)
Die Aufgabestellung finde ich wirklich ein bisschen komisch. Worauf wird [mm]\Omega[/mm] abgebildet?
Ist es die Anzahl der Fälle, wo dieselbe Kugel mehrfach hintereinander gezogen wird?
Dann wäre z.B.:
1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
Verstehe ich es richtig?
Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas abgebildet sein können (laut Definition: [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n][/mm]), oder? (siehe Beispiel 3))
Ich stelle mir das grundsätzlich in dieser Form vor:
Für [mm]\omega \in \Omega[/mm]
[mm]X(\omega)=\left\{\begin{matrix}
\ldots, & \mbox{wenn }\ldots\mbox{}\\
\ldots, & \mbox{wenn }\ldots\mbox{}
\end{matrix}\right.[/mm]
So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so beschreiben:
[mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1} [/mm]
Ist es richtig?
Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben. Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?
c)
Wenn ich richtig verstehe, müssen wir hier die Wahrscheinlichkeit angeben, das es k solche Fälle gibt, wo dieselbe Kugel mehrfach hintereinander gezogen wird, richtig?
Und zudem dann ganz konkret die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 3 Ziehungen aus der Urne mit 2 unterscheidbaren Kugeln 2 Mal dieselbe Kugel hintereinander rausgezogen wird (also k=1). Verstehe ich die Aufgabenstellung richtig?
Ich würde gerne mit dem konkreten Teil anfangen, weil das für mich etwas fassbarer ist.
Also:
[mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm], also insgesamt 8 Mögliche Ergebnisse.
k=1 wird in 4 von diesen Fällen sein:
bei X=(0,0,1) oder X=(0,0,1) oder X=(0,1,1) oder X=(1,1,0).
Alle diese Ergebnisse sind gleich-wahrscheinlich (weil wir Gleichverteilung haben).
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit genau 0,5 oder 50% betragen.
Macht es Sinn?
Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?
Schönen Dank im Voraus!
Hela123
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Hiho,
> a)
> [mm]\Omega = [1:m]^n[/mm]
hach, da ist die Informatiker-Schreibweise mal angenehmer als die der Mathematiker ^^
> [mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch
> konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)
Reicht so.
Man sollte immer die "größtmögliche" [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] nehmen… im diskreten Fall ist das die Potenzmenge. Und die hast du mit [mm] $2^\Omega$ [/mm] umfassend genug bezeichnet.
> [mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)
>
> Ist es korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b)
> Die Aufgabestellung finde ich wirklich ein bisschen komisch.
Ist sie auch…
> Ist es die Anzahl der Fälle, wo dieselbe Kugel mehrfach
> hintereinander gezogen wird?
Würde ich auch so verstehen.
>
> Dann wäre z.B.:
> 1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
> 2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
> 3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
> Verstehe ich es richtig?
Zumindest würde ich es auch so verstehen… nur hier wieder ein Notationshinweis: Deine $X$ oben unterscheiden sich eigentlich alle!
Die gegebene Tupellänge [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist ja zwar beliebig, aber fest!
D.h. die Tupel müssten alle die selbe Länge haben.
Du legst bei dem Experiment also erst deine [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] fest und modellierst dann deine ZV X.
> So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so
> beschreiben:
>
> [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
Sauberer: [mm] $\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] [0:n-1]$
Sonst passt es.
> Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben.
> Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?
Überlege dir: Wie wahrscheinlich ist eine Reihe der Länge n, wie wahrscheinlich eine der Länge n-1, etc.
> Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas abgebildet sein können (laut Definition: $ [mm] X:\Omega \rightarrow[0:n] [/mm] $), oder? (siehe Beispiel 3))
Korrekt, darum steht in der Aufgabe c) ja auch:
> Gebe das Bildmaß $ [mm] P_x [/mm] $ an indem du für $ [mm] k\in [/mm] [1:n-1] $ die Wahrscheinlichkeit […]
Dass der Bildraum von X mit $[0:n]$ angegeben wurde, ist… egal.
Man hätte auch schreiben können: $ [mm] X:\Omega \to \IR [/mm] $, X ist dann halt einfach nicht surjektiv, aber das macht nix…
> c)
> Wenn ich richtig verstehe, müssen wir hier die
> Wahrscheinlichkeit angeben, das es k solche Fälle gibt, wo
> dieselbe Kugel mehrfach hintereinander gezogen wird,
> richtig?
> Ich würde gerne mit dem konkreten Teil anfangen, weil das
> für mich etwas fassbarer ist.
> Also:
> [mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm],
Notation!!
Du schreibst [mm] $[1:m]^n [/mm] = [mm] [1:2]^3$, [/mm] nutzt nachher aber Tupel [mm] $[0:1]^3$!
[/mm]
Klar ist das alles bijektiv und dasselbe etc… aber unsauber!
Und unsauber Arbeiten führt zu Fehlern…
Da die Aufgabe so gestellt wurde, verwende bitte [mm] $[1:2]^3$.
[/mm]
> also insgesamt 8 Mögliche Ergebnisse.
Ja, [mm] 2^3 [/mm] halt (ganz ohne aufschreiben ^^)
> k=1 wird in 4 von diesen Fällen sein:
> bei X=(0,0,1) oder X=(0,0,1) oder X=(0,1,1) oder
> X=(1,1,0).
Ja 4 Fälle… aber bitte nicht Tupel mehrfach aufschreiben, weder hier noch in der Menge… du hast (0,0,1) (also eigentlich (1,1,2)) doppelt und dafür (1,0,0) (also eigentlich (2,1,1)) vergessen.
> Alle diese Ergebnisse sind gleich-wahrscheinlich (weil wir
> Gleichverteilung haben).
> Dann müsste die Wahrscheinlichkeit genau 0,5 oder 50%
> betragen.
> Macht es Sinn?
Jop.
Damit wäre $P(X=1) = [mm] P_X(\{1\}) [/mm] = 0,5$
> Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?
Hatte ich ja schon was zu geschrieben… habt ihr noch die Einschränkung $n [mm] \ge [/mm] m$
Die beiden Fälle unterscheiden sich nämlich… also [mm] $n\le [/mm] m$ und [mm] $m\ge [/mm] n$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 12.05.2018 | | Autor: | Hela123 |
Hallo Gono,
vielen vielen Dank für Deine Antwort!
> > Dann wäre z.B.:
> > 1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
> > 2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
> > 3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
> > Verstehe ich es richtig?
> Zumindest würde ich es auch so verstehen… nur hier
> wieder ein Notationshinweis: Deine [mm]X[/mm] oben unterscheiden
> sich eigentlich alle!
> Die gegebene Tupellänge [mm]n\in\IN[/mm] ist ja zwar beliebig,
> aber fest!
> D.h. die Tupel müssten alle die selbe Länge haben.
> Du legst bei dem Experiment also erst deine [mm]n,m\in\IN[/mm] fest
> und modellierst dann deine ZV X.
Alles klar.
> > So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so
> > beschreiben:
> >
> > [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
>
> Sauberer: [mm]\forall i \in [0:n-1][/mm]
> Sonst passt es.
Ok
> > Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben.
> > Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?
> Überlege dir: Wie wahrscheinlich ist eine Reihe der Länge
> n, wie wahrscheinlich eine der Länge n-1, etc.
Also, ich denke mal:
[mm]X(\omega)=n, \mbox{nie} [/mm]
[mm]X(\omega)=n-1, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
[mm]X(\omega)=n-2, \mbox{wenn } ((\forall i \in [1:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_0 \ne \omega_1)) \vee ((\forall i \in [0:n-2]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_n \ne \omega_{n-1}))[/mm]
...
...
...
[mm]X(\omega)=3, \mbox{wenn } (\exists ! i,j,k \in [0:n-1], i \ne j \ne k: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1} \wedge \omega_k = \omega_{k+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-3], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2}= \omega_{i+3}) \vee ((\exists ! i \in [0:n-2],\exists ! j \in [0:n-1] i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1}= \omega_{i+2} \wedge \omega_j = \omega_{j+1})[/mm]
[mm]X(\omega)=2, \mbox{wenn } (\exists ! i,j \in [0:n-1], i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-2], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2} )[/mm]
[mm]X(\omega)=1, \mbox{wenn } \exists ! i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
[mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
Ich glaube ich mache hier etwas falsch, weil es scheint mir zu aufwendig zu sein, die ganze Fallunterscheidung zu machen.
Hast Du vielleicht noch einen Tipp für mich?
> > Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas
> abgebildet sein können (laut Definition: [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n] [/mm]),
> oder? (siehe Beispiel 3))
>
> Korrekt, darum steht in der Aufgabe c) ja auch:
> > Gebe das Bildmaß [mm]P_x[/mm] an indem du für [mm]k\in [1:n-1][/mm] die
> Wahrscheinlichkeit […]
> Dass der Bildraum von X mit [mm][0:n][/mm] angegeben wurde, ist…
> egal.
> Man hätte auch schreiben können: [mm]X:\Omega \to \IR [/mm], X ist
> dann halt einfach nicht surjektiv, aber das macht nix…
Ok, verstehe. D.h. hier [mm]X^{-1}(n) = \emptyset[/mm]?
> > Also:
> > [mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm],
> Notation!!
> Du schreibst [mm][1:m]^n = [1:2]^3[/mm], nutzt nachher aber Tupel
> [mm][0:1]^3[/mm]!
> Klar ist das alles bijektiv und dasselbe etc… aber
> unsauber!
> Und unsauber Arbeiten führt zu Fehlern…
> Da die Aufgabe so gestellt wurde, verwende bitte [mm][1:2]^3[/mm].
Einverstanden.
> > Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?
>
> Hatte ich ja schon was zu geschrieben…
Ich glaube, ich muss erstmal die Zufallsvariablen korrekt aufschreiben...%)
> habt ihr noch die
> Einschränkung [mm]n \ge m[/mm]
> Die beiden Fälle unterscheiden
> sich nämlich… also [mm]n\le m[/mm] und [mm]m\ge n[/mm]
In der Aufgabenstellung ist nichts dazu vermerkt.
Nochmal vielen Dank!
Hela123
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> Hallo Gono,
>
> vielen vielen Dank für Deine Antwort!
>
> > > Dann wäre z.B.:
> > > 1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
> > > 2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
> > > 3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
> > > Verstehe ich es richtig?
> > Zumindest würde ich es auch so verstehen… nur hier
> > wieder ein Notationshinweis: Deine [mm]X[/mm] oben unterscheiden
> > sich eigentlich alle!
> > Die gegebene Tupellänge [mm]n\in\IN[/mm] ist ja zwar beliebig,
> > aber fest!
> > D.h. die Tupel müssten alle die selbe Länge haben.
> > Du legst bei dem Experiment also erst deine [mm]n,m\in\IN[/mm]
> fest
> > und modellierst dann deine ZV X.
> Alles klar.
>
> > > So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so
> > > beschreiben:
> > >
> > > [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
>
> >
> > Sauberer: [mm]\forall i \in [0:n-1][/mm]
> > Sonst passt es.
> Ok
>
> > > Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben.
> > > Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?
> > Überlege dir: Wie wahrscheinlich ist eine Reihe der Länge
> > n, wie wahrscheinlich eine der Länge n-1, etc.
> Also, ich denke mal:
> [mm]X(\omega)=n, \mbox{nie}[/mm]
> [mm]X(\omega)=n-1, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
>
> [mm]X(\omega)=n-2, \mbox{wenn } ((\forall i \in [1:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_0 \ne \omega_1)) \vee ((\forall i \in [0:n-2]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_n \ne \omega_{n-1}))[/mm]
>
> ...
> ...
> ...
> [mm]X(\omega)=3, \mbox{wenn } (\exists ! i,j,k \in [0:n-1], i \ne j \ne k: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1} \wedge \omega_k = \omega_{k+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-3], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2}= \omega_{i+3}) \vee ((\exists ! i \in [0:n-2],\exists ! j \in [0:n-1] i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1}= \omega_{i+2} \wedge \omega_j = \omega_{j+1})[/mm]
>
> [mm]X(\omega)=2, \mbox{wenn } (\exists ! i,j \in [0:n-1], i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-2], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2} )[/mm]
>
> [mm]X(\omega)=1, \mbox{wenn } \exists ! i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
>
> [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
>
> Ich glaube ich mache hier etwas falsch, weil es scheint mir
> zu aufwendig zu sein, die ganze Fallunterscheidung zu
> machen.
> Hast Du vielleicht noch einen Tipp für mich?
Hallo,
setzte [mm]X_i(\omega)=1[/mm], wenn [mm]\omega_i=\omega_{i-1}[/mm] und [mm]X_i=0[/mm] sonst. Dann sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und es ist [mm]X=\sum_{i=2}^nX_i[/mm].
>
> > > Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas
> > abgebildet sein können (laut Definition: [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n] [/mm]),
> > oder? (siehe Beispiel 3))
> >
> > Korrekt, darum steht in der Aufgabe c) ja auch:
> > > Gebe das Bildmaß [mm]P_x[/mm] an indem du für [mm]k\in [1:n-1][/mm]
> die
> > Wahrscheinlichkeit […]
> > Dass der Bildraum von X mit [mm][0:n][/mm] angegeben wurde,
> ist…
> > egal.
> > Man hätte auch schreiben können: [mm]X:\Omega \to \IR [/mm], X ist
> > dann halt einfach nicht surjektiv, aber das macht nix…
> Ok, verstehe. D.h. hier [mm]X^{-1}(n) = \emptyset[/mm]?
>
> > > Also:
> > > [mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm],
> > Notation!!
> > Du schreibst [mm][1:m]^n = [1:2]^3[/mm], nutzt nachher aber
> Tupel
> > [mm][0:1]^3[/mm]!
> > Klar ist das alles bijektiv und dasselbe etc… aber
> > unsauber!
> > Und unsauber Arbeiten führt zu Fehlern…
> > Da die Aufgabe so gestellt wurde, verwende bitte [mm][1:2]^3[/mm].
> Einverstanden.
>
> > > Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?
> >
> > Hatte ich ja schon was zu geschrieben…
> Ich glaube, ich muss erstmal die Zufallsvariablen korrekt
> aufschreiben...%)
>
> > habt ihr noch die
> > Einschränkung [mm]n \ge m[/mm]
> > Die beiden Fälle unterscheiden
> > sich nämlich… also [mm]n\le m[/mm] und [mm]m\ge n[/mm]
> In der
> Aufgabenstellung ist nichts dazu vermerkt.
>
> Nochmal vielen Dank!
> Hela123
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hallo,
> setzte [mm]X_i(\omega)=1[/mm], wenn [mm]\omega_i=\omega_{i-1}[/mm] und [mm]X_i=0[/mm]
> sonst. Dann sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und es ist
> [mm]X=\sum_{i=2}^nX_i[/mm].
guter Tipp
Auch wenn man die Unabhängigkeit zumindest begründen müsste…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mo 14.05.2018 | | Autor: | donquijote |
> Hiho,
>
> > Hallo,
> > setzte [mm]X_i(\omega)=1[/mm], wenn [mm]\omega_i=\omega_{i-1}[/mm] und
> [mm]X_i=0[/mm]
> > sonst. Dann sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und es ist
> > [mm]X=\sum_{i=2}^nX_i[/mm].
>
> guter Tipp
> Auch wenn man die Unabhängigkeit zumindest begründen
> müsste…
>
> Gruß,
> Gono
Hallo,
> und tatsächlich: $ [mm] X_i [/mm] $ und $ [mm] X_{i+1} [/mm] $ sind leider nicht unabhängig…
Warum nicht? Es ist [mm] $P(X_{i+1}=1|X_i=a)=P(X_{i+1}=1)=\frac [/mm] 1m$ unabhängig von [mm] $a\in\{0,1\}$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Warum nicht? Es ist [mm]P(X_{i+1}=1|X_i=a)=P(X_{i+1}=1)=\frac 1m[/mm]
[edit] Hier stand Blödsinn… ich schreib später was neues…
[edit2] Du hast natürlich recht… ich bin da über den selbstverursachten Knoten im Kopf gestolpert. Sorry.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:43 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
und tatsächlich: [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_{i+1}$ [/mm] sind leider nicht unabhängig…
edit: Das ist natürlich quatsch… da hatte mein Hirn wohl Schluckauf…
Gruß,
Gono
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