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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 So 15.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden Originalfunktion:
f(t)=cos(w*t) |
Hallo Leute,
ich bin so vorgegangen
L{f(t)}= [mm] F(s)=\integral_{0}^{\infty}{cos(w*t)*e^{-s*t}} [/mm] dt
Nun muss ich das Integral berechnen, und hier stoße ich an mein Problem:
[mm] \integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}=u(x)*v(x)-\integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx}
[/mm]
[mm] u(x)=e^{-s*t} \to u'(x)=-s*e^{-s*t} [/mm]
v'(x)=cos (w*t) [mm] \to v(x)=\bruch{sin(w*t)}{t}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos(w*t)*e^{-s*t} dt}=-cos(w*t)*e^{-s*t}-\integral_{}^{}{-e^{-s*t}*\bruch{sin(w*t)}{w} dt}
[/mm]
Leider hat mich das hier nicht sehr weit gebracht, wie sollte ich am besten vorgehen?
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Hi,
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der
> Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden
> Originalfunktion:
> f(t)=cos(w*t)
> Hallo Leute,
> ich bin so vorgegangen
> L{f(t)}= [mm]F(s)=\integral_{0}^{\infty}{cos(w*t)*e^{-s*t}}[/mm]
> dt
>
> Nun muss ich das Integral berechnen, und hier stoße ich an
> mein Problem:
>
> [mm]\integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}=u(x)*v(x)-\integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx}[/mm]
>
> [mm]u(x)=e^{-s*t} \to u'(x)=-s*e^{-s*t}[/mm]
> v'(x)=cos (w*t) [mm]\to v(x)=\bruch{sin(w*t)}{t}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(w*t)*e^{-s*t} dt}=-cos(w*t)*e^{-s*t}-\integral_{}^{}{-e^{-s*t}*\bruch{sin(w*t)}{w} dt}[/mm]
>
> Leider hat mich das hier nicht sehr weit gebracht, wie
> sollte ich am besten vorgehen?
Es gibt da eine Rekursionsformel zur Berechnung deines Integral. Sie lautet:
[mm] \integral_{}^{}{cos(a\cdot\\x)\cdot\\e^{b\cdot\\x} dx}=\bruch{e^{bx}(b\cdot\\cos(ax)+a\cdot\\sin(ax))}{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Nun zu deiner Vorgehensweise: Du hast die partielle Integration richtig aufgeschrieben aber falsch angewendet.
Es muss heissen: [mm] \integral_{}^{}{cos(wt)\cdot\\e^{-st} dt}=e^{-st}\cdot\bruch{sin(wt)}{t}-\integral_{}^{}{-s\cdot\\e^{-st}\cdot\\cos(wt) dt}
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 15.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
stimmt, das habe ich falsch gemacht, danke für den Hinweis.
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