Bilden von Basen von Vektorräu < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Fr 15.06.2007 | | Autor: | fendral |
| Aufgabe | v1 = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] v2= [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1} [/mm] v=3 [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] v4= [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Man bestimme die Basis des von den Vektoren v1 - v4 aufgespannten Vektorraumes |
Hallo!
Mir gehts um ein gesamtheitliches Verständnisproblem beim Konstruieren von Basen. Obiges Beispiel ist ein Beispiel aus einem Tutorium (wo ich natürlich nicht war...).
Was ich weiß ist, ich muss überprüfen ob obige Vektoren linear unabhängig sind.
So in unserem Script steht folgendes: "Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U [mm] \subset [/mm] V von linear unabhängigen Vektoren heißt Basis von V, wenn gilt L(U) = V."
Daraus ersehe ich, dass ich eine Linearkombination bilden muss, jedoch von was?
Gibt es ein einfaches Kochrezept mit dem ich die Basis von Vektorräumen konstruieren kann?
Meine Idee: Ich nehme z.B. Vektor v1. Dann überprüfe ich ob v1 den ganzen Raum aufspannt. Wenn ja, ist das die Basis, ansonsten alle anderen Vektoren durchprobieren.
Oder soll ich mit dem Vektor b = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Und sehen ob b [mm] \in [/mm] L(v1,v2,v3,v4)?
Wie ihr seht? Ich hab so Ideen, aber keinen wirklichen Plan. Ich bitte um kurze Hilfe!
Danke!
Fendral
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fendral,
die [mm] v_i [/mm] sind ja [mm] \in\IR^3, [/mm] dh. sie spannen einen Raum V auf mit [mm] \underline{höchstens} [/mm] Dimension 3, also [mm] dim(V)\le [/mm] 3
Also ist [mm] \{v_1,...v_4\} [/mm] linear abhängig - es sind ja mehr als 3 Vektoren
Du kannst bei der Bestimmung einer Basis von V konstruktiv vorgehen.
Schnapp dir [mm] v_1 [/mm] und nimm im ersten Schritt [mm] v_2 [/mm] hinzu und prüfe, ob die beiden linear unabhängig sond.
Falls nicht, schmeiß [mm] v_2 [/mm] weg und nimm [mm] v_3 [/mm] und prüfe, ob [mm] \{v_1,v_3\} [/mm] lin. unabh. ist usw.
Falls ja, nimm zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] noch [mm] v_3 [/mm] hinzu und prüfe, ob [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] lin. unabh. ist
Falls nicht, hau [mm] v_3 [/mm] weg und nimm [mm] v_4 [/mm] dazu und prüfe erneut...
Falls ja, wärest du fertig, da du 3 lin. unabhängige Vektoren [mm] \in \IR^3 [/mm] hättest.
Geh's mal an, kannst ja (Zwischen)-Ergebnisse posten, dann gucken wir drüber, ob's klappt 
LG
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 15.06.2007 | | Autor: | fendral |
Hallo schachuzipus!
Danke für deine super schnelle Antwort!
Also ich habe es mal nach deiner Anleitung durchgerechnet, kann bei mir leider durchaus sein, dass ich mich verrechnet habe. Ergebnis:
$ [mm] v_1 [/mm] $ mit $ [mm] v_2 [/mm] $ ergibt l.u
$ [mm] v_1 [/mm] $ mit $ [mm] v_2 [/mm] $ mit $ [mm] v_3 [/mm] $ ebenfalls.
Dann ist mein Ergebnis für die Basis $ [mm] v_1 [/mm] $, $ [mm] v_2 [/mm] $, $ [mm] v_3 [/mm] $
Ich habe auch (glaub ich) alle anderen 2er Kombinationen auf L.U überprüft, alle sind unabhängig. Bei einer 3er scheint das jedoch nicht zu stimmen nämlich: $ [mm] v_2 [/mm] $ bis $ [mm] v_4 [/mm] $.
Hoffe ich bin halbwegs richtig unterwegs.
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Hi fendral,
ich glaube, du hast dich bei [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] verrechnet.
Wenn ich das LGS der LK so auf die Schnelle in ZSF bringe, erhalte ich eine Nullzeile und mithin unendlich viele Lösungen, also lineare Abhängigkeit..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Fr 15.06.2007 | | Autor: | fendral |
Hallo!
Ja, du hast recht - die Nullzeile, dadurch unendlich viele Lsg. Ich habe daran nicht mehr gedacht - typisch.
Ich habe jedoch einen anderen Lösungsvorschlag.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3& 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -1} \to [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3& 1 \\ 0 & -3 & -1 \\ 0 & 3 & 1} \to [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Rang 2 [mm] \Rightarrow [/mm] dimV = 2
B = {v1,v2} ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Fr 15.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Dein Lösungsweg ist richtig - schauen wie viel Vektoren lin. unabh. sind und dadurch die Dimension bestimmen. Dann kann man auch die Standardbasis für den gegeben VR nehmen. Aber ich finde v2, v3 und v4 sind lin. unabh., also dim=3. Du solltest deine Rechnung noch mal überprüfen.
Gruß,
dormant
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Hallo dormant,
[mm] v_2,v_3,v_4 [/mm] sind linear abhängig.
Wenn du bei dem zu lösenden LGS die 2Zeile zum (-3) fachen
der 3ten addierst, siehst du direkt, dass du im nächsten Schritt ne
Nullzeile bekommst.
Daher dim(V)=2
Gruß´
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Fr 15.06.2007 | | Autor: | dormant |
Stimmt, dim=2. Danke :)
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Fr 15.06.2007 | | Autor: | fendral |
Danke für eure Hilfe, ich glaub ich habs jetzt, danke! Ich denke ich werde in den nächsten Tagen eure Hilfe überstrapazieren :D
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