Bild und Urbildmenge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ich habe mal eine dringende Frage.
Gegeben ist die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, x\to [/mm] |x|-1.
Es soll das Bild und die Urbildmenge [mm] f^{-1}({y}), [/mm] für y [mm] \in \IR [/mm] bestimmt werden.
Ich bin da nun folgendermaßen rangegangen:
[mm] |x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Nun habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.
a) x < 0
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-1=y
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-1-y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] -x=1+y
b) [mm] x\ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x-1=y
[mm] \Rightarrow [/mm] x-1-y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1+y
Weshalb man nun auch schrieben kann:
|x|-1=y [mm] \gdw [/mm] |x|=1+y
Durch den Absolutbetrag kann ich nun ablesen, dass f genau dann lösbar ist, wenn y [mm] \ge [/mm] -1 und eindeutig lösbar ist, wenn y=-1
Für y>-1 lautet die Lösung: [mm] x_1=-1-y, x_2=1+y
[/mm]
Für y=-1 lautet die Lösung: x=0
Nun zunächst mal eine Frage. Ich erkenne nicht so ganz, weshalb für [mm] y<-1=\emptyset [/mm] gilt. Liegt das am Absolutbetrag???
MFG domenigge135
|
|
| |
|
> Gegeben ist die Funktion f: [mm]\IR \to \IR, x\to[/mm] |x|-1.
> Es soll das Bild und die Urbildmenge [mm]f^{-1}({y}),[/mm] für y
> [mm]\in \IR[/mm] bestimmt werden.
>
> Ich bin da nun folgendermaßen rangegangen:
>
> [mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Nun habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.
> a) x < 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x-1=y
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x-1-y=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x=1+y
> b) [mm]x\ge[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-1=y
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-1-y=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1+y
Hallo,
da Du dich für das Bild von x unter der Abbildung f interessierst, würde ich nun schreiben
[mm] f(x)=\begin{cases} -x-1, & \mbox{für } x\<0 \mbox{ } \\ x-1, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
> Weshalb man nun auch schrieben kann:
> |x|-1=y [mm]\gdw[/mm] |x|=1+y
das bietet ja nichts neues gegenüber f(x)=|x|-1.
>
> Durch den Absolutbetrag kann ich nun ablesen, dass f genau
> dann lösbar ist, wenn y [mm]\ge[/mm] -1 und eindeutig lösbar ist,
> wenn y=-1
> Für y>-1 lautet die Lösung: [mm]x_1=-1-y, x_2=1+y[/mm]
Nicht ganz: [mm] x_2 [/mm] = -1+y.
> Für y=-1
> lautet die Lösung: x=0
Also
[mm] f^{-1}(y)=\begin{cases}\{1-y,-1+y\} , & \mbox{für } y>-1 \mbox{ } \\ \{0\}, & \mbox{für } y=-1 \mbox{ }\\ ..., & \mbox{für } y<-1 \mbox{ }\end{cases}.
[/mm]
> Nun zunächst mal eine Frage. Ich erkenne nicht so ganz,
> weshalb für [mm]y<-1=\emptyset[/mm] gilt. Liegt das am
> Absolutbetrag???
Ja sicher: |x| kann nicht kleiner als 0 sein, also ist |x|-1nicht kleiner als -1.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
