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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:17 So 05.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien V und W reelle Vektorräume. Beweisen Sie die folgende Aussage:
b) Es sei f : V --> W eine lineare Abbildung. Das Bild [mm] f(U)\subseteq [/mm] W eines linearen
Unterraums U [mm] \subseteq [/mm] V ist ein linearer Unterraum von W.
c) Nicht jede surjektive lineare Abbildung ist auch injektiv. |
b) [mm] f(\emptyset)= \emptyset [/mm] weil [mm] f(\emptyset)= f(\emptyset*0)= f(\emptyset)*0 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] also ist [mm] \emptyset \in [/mm] f(U).
Seien w1, w2 [mm] \in [/mm] f(U). Dann existieren v1, v2 [mm] \in [/mm] U so dass [mm] w_{i}= f(v_{i}) [/mm] mit i=1,2. Also ist [mm] w_{1}+w_{2}=f(v_{1})+f(v_{2})=f(v_{1}+v_{2})\in [/mm] f(U). Außerdem gilt für jedes a [mm] \in [/mm] R: [mm] w_{1}*a= f(v_{1})*a= f(v_{1}*a)\in [/mm] f(U). Somit sind alle Unterraumvorraussetzungen gezeigt.
c) Beweis durch Gegenbeispiel. f: R --> [mm] R_{0}^+, [/mm] x --> [mm] x^2
[/mm]
Ist surjektiv weil jedes Element von [mm] R_{0}^+ [/mm] als [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit x [mm] \in [/mm] R dargestellt werden kann, aber z.b. 4 [mm] \in [/mm] R = [mm] f(x_{1})= f(x_{2}) [/mm] = f(2) = f(-2) und somit ist f nicht injektiv.
Ist das richtig? Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:50 So 05.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der erste Teil ist perfekt.
Der zweite Teil haut so überhaupt nicht hin, denn 1. ist [mm] \IR_0^+ [/mm] kein Vektorraum und 2. ist dein f nicht linear.
Du wirst bestimmt ein besseres richtiges Gegenbeispiel finden.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 05.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Stimmt natürlich. Wie wäre es mit dem Beispiel: f: [mm] R^2 [/mm] --> R,
[mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] --> [mm] (x_{1}+x_{2}). [/mm] Das müsste doch linear sein, außerdem surjektiv weil jedes Element R als Summe von Elementen R dargestellt werden kann, aber nicht injektiv weil sogar jedes Element R durch unterschiedliche Summen von Elementen aus R dargestellt werden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 05.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, dieses Beispiel passt.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:08 So 05.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Zur Übung:
d)"Nicht jede injektive lineare Abbildung ist auch surjektiv."
Gruß
DieAcht
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