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Hallo,
ich habe mal eine Frage zum Bild, dem Kern und der Dimension.
Ich kenne zwar die Grundlagen und die Formeln, aber ich kann es einfach nicht in der Praxis anwenden.
Wie berechne ich dim im(f) und dim ker(f)?
z.B. von der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }
[/mm]
und von der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich bin kurz vorm verzweifeln.
Danke schon mal im Vorraus.
sunshine90
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") 90 und erstmal ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
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> ich habe mal eine Frage zum Bild, dem Kern und der
> Dimension.
> Ich kenne zwar die Grundlagen und die Formeln, aber ich
> kann es einfach nicht in der Praxis anwenden.
> Wie berechne ich dim im(f) und dim ker(f)?
> z.B. von der Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
> und von der
> Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> Ich bin kurz vorm verzweifeln.
> Danke schon mal im Vorraus.
> sunshine90
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Deine Matrizen beschreiben dir jeweils eine lineare Abb. [mm] $f:\IR^3\to\IR^3$
[/mm]
Es gilt der nette Satz: $dim(Im(f))=rang(A)$
Die Spaltenvektoren der f beschreibenden Matrix A spannen ja das Bild von f, also Im(f) auf
Du musst also den Spaltenrang (=Zeilenrang =Rang) von A bestimmen, um die max. Anzahl linear unabh. Spaltenvektoren herauszubekommen, das ist dann die gesuchte Dimension des Bildes von f
Bestimme also den Rang der Matrix A, dazu bringe sie in Zeilenstufenform (mit Gauß), die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist der Rang
Damit hast du gem. dem schönen Satz die Dimension des Bildes
Weiter gilt der nette Dimensionssatz [mm] $dim(\IR^3)=dim(Im(f))+dim(Kern(f))$
[/mm]
[mm] $dim(\IR^3)=3$, [/mm] $dim(Im(f))$ berechnest du, damit hast du automatisch $dim(Kern(f))$
Also mal ran, du kannst ja deine Rechnungen hier posten, wenn du dir nicht ganz sicher bist oder weitere Fragen hast
LG
schachuzipus
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Danke für deine Antwort!
Also ich schätze mal von der ersten Matrix ist
dim im(f) = 3
dim [mm] (\IR^{3}) [/mm] = 3
bei der zweiten müsste
dim im(f) = 2
dim ker(f) = 1
dim [mm] (\IR^{3}) [/mm] = 3
aber das mit kern(f) hab ich immer noch nicht so richtig verstanden.
Der müsste ja dann laut der Formel bei der ersten Matrix Null sein, oder?
Bei der zweiten Matrix hab ich einfach dim im(f) und dim [mm] (\IR^{3}) [/mm] eingesetzt und so kern(f) berechnet, aber das muss doch auch anders gehen.
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Hallo nochmal,
> Danke für deine Antwort!
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> Also ich schätze mal von der ersten Matrix ist
> dim im(f) = 3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> dim [mm](\IR^{3})[/mm] = 3
>
> bei der zweiten müsste
> dim im(f) = 2
> dim ker(f) = 1
> dim [mm](\IR^{3})[/mm] = 3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei der ersten erhalte ich $rg(A)=dim(Im(f))=2$
Also besser (vor-)rechnen als schätzen ...
>
> aber das mit kern(f) hab ich immer noch nicht so richtig
> verstanden.
> Der müsste ja dann laut der Formel bei der ersten Matrix
> Null sein, oder?
> Bei der zweiten Matrix hab ich einfach dim im(f) und dim
> [mm](\IR^{3})[/mm] eingesetzt und so kern(f) berechnet, aber das
> muss doch auch anders gehen.
Wenn $dim(Kern(f))=0$ wäre, dann wäre $dim(Im(f))=3$, das $Im(f)$ wäre also der gesamte [mm] $\IR^3$
[/mm]
Ein nulldimensionaler Kern bedeutet, dass einzig und allein der Nullvektor im Kern ist. Also wäre [mm] $Kern(f)=\{0\}$
[/mm]
Der ist ja eh immer drin, denn eine lineare Abb. bildet immer den Nullvektor des Urbildraumes auf den Nullvektor des Zielraumes ab
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 So 08.02.2009 | | Autor: | sunshine90 |
Danke für die Hilfe...ich glaube ich habs jetzt verstanden 
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